Лінійна комбінація векторів виникає, коли вектор може бути виражений як лінійна функція інших векторів, які лінійно незалежні.
Іншими словами, лінійна комбінація векторів полягає в тому, що вектор може бути виражений як лінійна комбінація інших векторів, які лінійно не залежать один від одного.
Вимоги до лінійної комбінації векторів
Лінійна комбінація векторів повинна відповідати двом вимогам:
- Що вектор можна виразити як лінійну комбінацію інших векторів.
- Нехай ці інші вектори лінійно не залежать один від одного.
Лінійна комбінація в числення
У базовій математиці ми звикли часто бачити лінійні комбінації, не усвідомлюючи цього. Наприклад, рядок - це комбінація однієї змінної щодо іншої, така що:
Але корені, логарифми, експоненційні функції … більше не є лінійними комбінаціями, оскільки пропорції не залишаються постійними для всієї функції:
Отже, якщо мова йде про лінійну комбінацію векторів, структура рівняння матиме такий вигляд:
Оскільки ми говоримо про вектори, а попереднє рівняння стосується змінних, для побудови комбінації векторів нам залишається лише замінити змінні векторами. Нехай будуть такі вектори:
Отже, ми можемо записати їх як лінійну комбінацію наступним чином:
Вектори лінійно незалежні один від одного.
Грецький лист лямбда виступає як параметр м у загальному рівнянні прямої. Лямбда буде будь-яким дійсним числом, і якщо воно не відображається, його значення, як кажуть, дорівнює 1.
Те, що вектори є лінійно незалежними, означає, що жоден з векторів не може бути виражений як лінійна комбінація інших. Відомо, що незалежні вектори складають основу простору, і залежний вектор також належить цьому простору.
Приклад паралелепіпеда
Ми припускаємо, що у нас є три вектори, і ми хочемо виразити їх як лінійну комбінацію. Ми також знаємо, що кожен вектор походить з однієї вершини і становить абсцису цієї вершини. Геометрична фігура - паралелепіпед. Оскільки вони повідомляють нам, що геометрична фігура, яку утворюють ці вектори, є абсцисою паралелепіпеда, то вектори обмежують грані фігури.
По-перше, ми повинні знати, чи вектори лінійно залежать. Якщо вектори лінійно залежать, то ми не можемо сформувати з них лінійну комбінацію.
Три вектори:
Як ми можемо дізнатися, чи вектори лінійно залежать, якщо вони не дають нам інформації про свої координати?
Ну, використовуючи логіку. Якби вектори були лінійно залежними, то всі грані паралелепіпеда розвалилися б. Іншими словами, вони були б однаковими.
Тому ми можемо виразити новий вектор w в результаті лінійної комбінації попередніх векторів:
Вектор, що представляє комбінацію попередніх векторів:
Графічно:
