Математична модель - це модель, яка використовує математичні формули для представлення зв'язку між різними змінними, параметрами та обмеженнями.
Математична модель - це спрощене уявлення через математичні рівняння, функції чи формули явища або зв'язку між двома або більше змінними. Розділом математики, що відповідає за вивчення якостей і структури моделей, є так звана "теорія моделей".
Для чого призначена математична модель?
Математичні моделі використовуються для аналізу взаємозв'язку двох або більше змінних. Вони можуть бути використані для розуміння природних, соціальних, фізичних явищ тощо. Залежно від мети, яку шукають, і конструкції тієї самої моделі, вони можуть бути використані для прогнозування значення змінних у майбутньому, висунення гіпотез, оцінки наслідків певної політики чи діяльності серед інших цілей.
Хоча це здається теоретичною концепцією, насправді існує багато аспектів повсякденного життя, що регулюються математичними моделями. Що трапляється, це те, що вони не є математичними моделями, орієнтованими на теоретизування. Швидше, це математичні моделі, сформульовані для того, щоб щось спрацювало. Наприклад, автомобіль.
Основні елементи математичної моделі
Математичні моделі можуть відрізнятися за своєю складністю, але всі вони мають набір основних характеристик:
- Змінні: Це поняття чи об'єкти, які людина прагне зрозуміти або проаналізувати. Особливо стосовно його взаємозв'язку з іншими змінними. Так, наприклад, змінною може бути заробітна плата робітників, і те, що ми хочемо проаналізувати, є їх головними детермінантами (наприклад: роки навчання, освіта батьків, місце народження тощо).
- Параметри: Це відомі або керовані значення моделі.
- Обмеження: Це певні обмеження, які вказують на обґрунтованість результатів аналізу. Наприклад, якщо однією зі змінних є кількість дітей сім'ї, природне обмеження полягає в тому, що це значення не може бути від'ємним.
- Зв'язок між змінними: Модель встановлює певний взаємозв'язок між змінними на основі економічних, фізичних, хімічних теорій тощо.
- Спрощені уявлення: Однією з важливих характеристик математичної моделі є представлення взаємозв’язків між змінними, що вивчаються за допомогою елементів математики, таких як: функції, рівняння, формули тощо.
Бажані властивості математичної моделі
Коли розробляється математична модель, передбачається, що вона має набір властивостей, які допомагають забезпечити її стійкість та ефективність. Серед цих властивостей:
- Простота: Однією з основних цілей математичної моделі є спрощення реальності для кращого її розуміння.
- Об’єктивність: Що він не має упереджень ні теоретичних, ні упереджень чи ідей його дизайнерів.
- Чутливість: Що він здатний відображати наслідки малих варіацій.
- Стабільність: Що математична модель суттєво не змінюється при незначних змінах змінних.
- Універсальність: Це стосується кількох контекстів, а не лише конкретного випадку.
Очевидно, що їх набагато більше, але вищезазначені найбільш інтуїтивні.
Процеси створення математичної моделі
Загалом, процес розробки математичної моделі такий:
- Знайдіть явище чи проблему.
- Сформулюйте модель з елементами математики, що представляють обрану задачу, визначаючи відповідні змінні (залежні та незалежні).
- Встановіть гіпотези та метод перевірки на достовірність.
- Застосовуйте математичні знання для вирішення моделі та робіть прогнози, якщо це необхідно.
- Зробіть порівняння отриманих даних із реальними даними.
- Якщо результати не відповідають очікуванням, скорегуйте математичну модель.
Типи математичних моделей
Існують різні типи математичних моделей. Ось деякі найбільш актуальні типи моделей:
Відповідно до використаної інформації
- Евристика: На основі можливих пояснень про причини спостережуваних явищ.
- Емпіричний: Використовує інформацію з фактичних експериментів.
За типом подання
- Якісні або концептуальні: Вони стосуються аналізу якості або тенденції явища без обчислення точної величини.
- Кількісна або числова: Отримані результати мають конкретне значення, яке має певне значення (воно може бути точним або відносним).
Відповідно до випадковості
- Детермінований: Він не має невизначеності, значення відомі.
- Стохастичний: Значення змінних невідомо точно в усі часи. Існує невизначеність і, отже, розподіл ймовірностей результатів.
Відповідно до вашої заявки або цілі
- Імітаційне або описове: Імітує або описує явище. Результати орієнтовані на прогнозування того, що станеться в певній ситуації.
- Оптимізація: Вони використовуються для пошуку оптимального рішення проблеми.
- Контролю: Для підтримання контролю над організацією чи системою та визначення змінних, які необхідно скорегувати для отримання бажаних результатів.