Властивості очікуваних значень

Очікуване значення випадкової величини - це поняття, аналогічне математичній алгебрі, яке передбачає середнє арифметичне набору спостережень згаданої змінної.

Іншими словами, очікуване значення випадкової величини - це значення, яке з’являється найчастіше під час багаторазового повторення експерименту.

Властивості очікуваних значень випадкової величини

Очікуване значення випадкової величини має три властивості, які ми розробляємо нижче:

Властивість 1

Для будь-якої константи g очікуване значення цієї константи буде виражено як E (g) і буде такою ж константою g. Математично:

E (g) = g

Оскільки g є константою, тобто вона не залежить від будь-якої змінної, її значення залишиться незмінним.

Приклад

Яке очікуване значення 1? Іншими словами, яке значення ми присвоюємо числу 1?

E (1) =?

Точно, ми присвоюємо число 1 числу 1, і його значення не змінюватиметься, незалежно від того, скільки років проходить або стихійних лих. Отже, ми маємо справу з постійною змінною, а отже:

E (1) = 1 або E (g) = g

Вони можуть спробувати інші номери.

Властивість 2

Для будь-яких констант h і k очікуване значення прямої h · X + k буде дорівнює константі h, помноженій на очікування випадкової величини X плюс константи k. Математично:

E (h X + k) = h E (X) + k

Подивіться уважно, чи не нагадує вам це дуже відомий прямий? Точно, лінія регресії.

Якщо ми замінимо:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Є:

Y = B₀ + В₁X

Коли оцінюються коефіцієнти B₀ , Б₁ , тобто B₀ , B₁ , вони залишаються однаковими для всієї вибірки. Отже, ми застосовуємо властивість 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Тут ми також знаходимо властивість неупередженості, тобто очікуване значення оцінювача дорівнює його сукупності.

Повертаючись до E (h · X + k) = h · E (X) + k, важливо мати на увазі, що Y дорівнює E (h · X + k), роблячи висновки за лініями регресії. Іншими словами, можна сказати, що коли X збільшується на одиницю, Y збільшується на наполовину h одиниць, оскільки Y - очікуване значення рядка h · X + k.

Властивість 3

Якщо H - вектор констант, а X - вектор випадкових величин, то очікуване значення можна виразити як суму очікуваних значень.

Н = (год₁ , h_2, , …, h_п)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_п)

Привіт₁X₁ + год₂X₂ +… + Н_пX_п) = h₁· ЕЛЕМЕНТ₁) + h₂· ЕЛЕМЕНТ₂) +… + Н_п· ЕЛЕМЕНТ_п)

Виражене сумами:

Ця властивість дуже корисна для висновків у галузі математичної статистики.