Розкладання Холеського - це особливий вид розкладання матриці LU, від англійського Lower-Upper, який складається з розкладання матриці на добуток двох або більше матриць.
Іншими словами, розкладання Холеського складається з прирівняння матриці, що містить однакову кількість рядків і стовпців (квадратна матриця), до матриці з нулями над основною діагональю, помноженою на її матрицю, транспоновану з нулями під основною діагоналлю.
Розкладання LU, на відміну від Холеського, може застосовуватися до різних типів квадратних матриць.
Характеристики розкладання Холеського
Розкладання Холеського складається з:
- Верхня трикутна квадратна матриця: Квадратна матриця, що має лише нулі нижче основної діагоналі.
- Нижня трикутна квадратна матриця: Матриця, яка має лише нулі над основною діагональю.
Математично, якщо існує позитивно визначена симетрична матриця, І, тоді існує нижня трикутна симетрична матриця, K, того самого виміру, що і І, в результаті чого:
Вищенаведена матриця виглядає як матриця Холескі Е. Ця матриця діє як квадратний корінь матриці Е. Ми знаємо, що область квадратного кореня:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Що визначається у всіх невід’ємних дійсних числах. Так само, як квадратний корінь, матриця Холеського існуватиме лише в тому випадку, якщо матриця є напівпозитивно визначеною. Матриця є напівпозитивною, коли основні неповнолітні мають позитивний або нульовий детермінант.
Розпад Холеського І є такою діагональною матрицею, що:
Ми бачимо, що матриці є квадратними і містять згадані характеристики; трикутник нулів над головною діагоналлю в першій матриці та трикутник нулів нижче основної діагоналі в перетвореній матриці.
Застосування для розкладання Холеського
У фінансах він використовується для перетворення реалізацій незалежних нормальних змінних у нормальні змінні, корельовані відповідно до кореляційної матриці І.
Якщо N є вектором незалежних нормалей (0,1), то виходить, що С - вектор нормалей (0,1), корельованих відповідно до І.
Приклад розкладання Холеського
Це найпростіший приклад розкладання Холеського, оскільки матриці повинні бути квадратними, в цьому випадку матриця дорівнює (2 × 2). Два ряди на два стовпці. Крім того, він відповідає характеристикам нулів вище і нижче основної діагоналі. Ця матриця є напівпозитивно визначеною, оскільки основні неповнолітні мають позитивну детермінанту. Визначаємо:
Вирішення для: c2 = 4; b · c = -2; до2+ b2 = 5; ми маємо чотири можливі матриці Холескі:
Нарешті обчислюємо, щоб знайти (a, b, c). Як тільки ми їх знайдемо, ми отримаємо матриці Холеського. Розрахунок такий:
