Умовне середнє - це середнє значення набору даних, яке змінюється, якщо цей набір даних змінено. Це також можна розглядати як очікуване значення розподілу ймовірностей плюс термін помилки.
Іншими словами, умовне середнє залежить (зумовлене) від даних вибірки. Внаслідок модифікації цих даних умовне середнє значення також зміниться.
Умовне середнє разом із рівнянням умовної дисперсії є основою авторегресивної моделі та моделі ковзного середнього.
Рекомендовані статті: теорія випадкових прогулянок, теорема Гаусса-Маркова, авторегресивна модель, математичне сподівання.
Рівняння умовного середнього
Де c - константа, яка визначається оцінкою звичайних найменших квадратів (OLS) та
- термін помилки в часі т.
Ми просто говоримо, що для отримання прогнозу змінної X в момент часу t ми використовуємо константу c та термін помилки.
Ця константа c являє собою середнє значення і отримується за оцінкою OLS. Отже, наше передбачення щодо X в момент часу t залежить від середнього значення (очікуваного значення) та помилки оцінки.
Хоча це рівняння може здатися вам не надто звичним, ви, безсумнівно, багато разів використовували його приховано.
Вищевказане рівняння можна переписати як:
Якщо виділити термін помилки, ми отримаємо:
Тепер це звучить звично?
Це рівняння є визначенням терміна помилки par excellence, оскільки помилка буде різницею між дійсним реальним значенням змінної X та нашою оцінкою за OLS (середнє значення). Залежною змінною в оцінці OLS є середнє (очікуване значення) з урахуванням спостережень.
Авторегресійне умовне рівняння середнього значення
Почнемо з рівняння початкового умовного середнього:
Додаємо регресор та відсталу незалежну змінну, таку, що:
Хоча це рівняння може здатися вам ще менш знайомим, ви, безсумнівно, кілька разів використовували його приховано.
Вищевказане рівняння можна переписати як авторегресивний процес першого порядку або AR (1):
Тепер це звучить звично?
За допомогою цієї модифікації в умовному середньому рівнянні ми говоримо, що майбутнє значення змінної Xт залежить від константи c і значення тієї ж змінної за проміжок часу, що передує поточній (t-1). Ця часова залежність передбачає, що спостереження змінної Xт вони не є незалежними один від одного, отже, що стохастичний процес є тенденцією, а не нерухомим.
Додаток
На фінансових ринках частіше використовують авторегресивне умовне середнє, оскільки ціни на активи слідують тренду (вгору, вниз або побічно) і, отже, не є абсолютно випадковими (незалежні спостереження між ними).