Об'єднання подій - це операція, результат якої складається з усіх неповторених елементарних подій, які є спільними для двох чи більше множин, а не спільними.
Тобто, враховуючи два множини A і B, союз A і B буде утворений усіма неповторюваними множинами, які мають A і B. Інтуїтивно вірогідність об’єднання подій A і B означатиме відповідь на питання: Яка ймовірність того, що А вийде або що Б вийде?
Символом об’єднання подій є U. Таким чином, якщо ми хочемо математично помітити об’єднання двох подій B і D, ми помітимо це як: B U D.
Узагальнення об’єднань подій
Дотепер ми бачили і вказували поєднання двох подій. Наприклад, A U B або B U D. Але що, якщо ми маємо три, чотири і навіть сто подій?
Це те, що ми називаємо узагальненням, тобто формулою, яка допомагає нам помітити операцію об’єднання подій у цих випадках. Якщо у нас 8 подій, замість написання десяти подій ми будемо використовувати такі позначення:
Замість того, щоб називати кожну подію A, B або будь-яку букву, ми будемо називати Так. S - подія, а індекс i вказує номер. Таким чином, що ми отримаємо, застосувавши до прикладу 10 подій, наступне:
Те, що ми зробили, - це застосувати попередні позначення та розробити їх. Тепер нам не завжди потрібно буде це робити. Особливо, якщо мова йде про велику кількість заходів.
Союз несуміжних та несуміжних подій
Те, що вказує поняття несуміжних подій, полягає в тому, що дві події не мають спільних елементів.
Коли вони роз'єднані, операція об'єднання подій проста. Вам потрібно лише додати ймовірності обох, щоб отримати ймовірність того, що відбудеться та чи інша подія. Однак, коли події не перервані, потрібно додати невеличку деталь. Необхідно виключити повторювані елементи. Наприклад:
Припустимо, пробіл результатів переходить від 1 до 5. Події такі:
Подія А: (1,2,4) -> 60% вірогідність = 0,6
Подія B: (1,4,5) -> 60% вірогідність = 0,6
Операція A U B, інтуїтивно, полягала б у додаванні подій A та подій B, але якщо ми зробимо це, ймовірність буде 1,2 (0,6 + 0,6). І як вказують аксіоми ймовірності, ймовірність завжди повинна бути від 0 до 1. Як ми це вирішимо? Віднімання перетину подій A і B. Тобто, вилучення елементів, які повторюються:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Переходячи до ймовірностей, нам довелося б:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Дійсно, ймовірність того, що з’явиться 1, 2, 4 або 5. Якщо припустити, що всі числа мають однакову ймовірність того, що відбудеться, становить 80%.
Графічно це буде виглядати так:
Властивості об’єднання подій
Приєднання подій - це вид математичної операції. Деякі види операцій - це також додавання, віднімання, множення. Кожен з них має ряд властивостей. Наприклад, ми знаємо, що результат додавання 3 + 4 точно такий самий, як і додавання 4 +3. На даний момент об’єднання подій має кілька властивостей, які варто знати:
- Комутативний: Це означає, що порядок його написання не змінює результат. Наприклад:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Асоціативний: Якщо припустити, що є три події, нам все одно, яку зробити першою, а яку - наступною. Наприклад:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Поширення: Коли ми включаємо тип операції перетину, розподільна властивість виконується. Просто подивіться на наступний приклад:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Приклад об’єднання подій
Простим прикладом об'єднання двох подій A і B може бути наступний. Припустимо, випадок жеребкування ідеальної плашки. Плашка, що має шість граней, пронумерованих від 1 до 6. Таким чином, щоб події були визначені нижче:
ДО: Те, що воно більше 2. (3,4,5,6), ймовірність - це 4/6 => P (A) = 0,67
C: Нехай вийде п’ятеро. (5) з ймовірністю дорівнює 1/6 => P (C) = 0,17
Яка ймовірність A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Оскільки P (A) і P (C) вже мають, ми будемо обчислювати P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) за ймовірностями P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Кінцевий результат:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Імовірність того, що він котиться більше 2 або що він котиться 5, становить 67%.