Тетраедр - це багатогранник з чотирма гранями, шістьма ребрами та чотирма вершинами. Це тривимірна фігура, утворена кількома багатокутниками, які в даному випадку є трикутниками.
Тетраедр характеризується тим, що є найпростішим із багатогранників і єдиним, що має менше п’яти сторін.
Варто згадати, що тетраедр - це піраміда з трикутною основою.
Елементи тетраедра
Елементами тетраедра, що керують нами на малюнку нижче, є:
- Обличчя: Вони є сторонами тетраедра, які, як ми вже згадували, є трикутниками (ABC, ADC, ADB і BDC.
- Краї: Це об'єднання двох граней: AB, AC, AD, BC, CD і DB.
- Вершини: Це ті точки, де стикаються ребра: A, B, C і D.
- Двогранний кут: Він утворений об'єднанням двох граней.
- Кут багатогранника: Він складається з сторін, які збігаються в одній вершині.
Площа та об’єм тетраедра
Щоб знати характеристики тетраедра, ми можемо розрахувати:
- Площа: Довелося б додати площу чотирьох трикутників, що складають багатогранник. У цьому сенсі ми повинні пам’ятати, що площа трикутника обчислюється множенням основи на висоту і діленням на 2 (A = bxh / 2)
- Об'єм: Це було б розраховано за такою формулою
У формулі b - будь-яка грань багатогранника, а h - висота або відрізок, що з'єднує b з протилежною вершиною. Крім того, висота перпендикулярна до основи (вони утворюють прямий кут або розмір 90º).
Звичайний тетраедр
Коли всі трикутники, що утворюють тетраедр, є рівносторонніми трикутниками, ідентичними один одному, ми стикаємось із правильним тетраедром. Тобто це був би випадок правильного багатогранника, грані якого однакові, і кожен також є правильним многокутником.
На цьому етапі ми повинні пам’ятати, що правильний многокутник - це той, де всі сторони мають однакову довжину, а також їх внутрішні кути також рівні.
Тоді згадаймо, що площу (А) рівностороннього трикутника можна обчислити за формулою Герона, де a, b і c - виміри сторін, а s - напівпериметр, тобто периметр (P) між двома.
Тоді так:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Ми мусимо:
Тоді, оскільки існує чотири трикутники, ми множимо площу кожного з них на 4, щоб знайти площу тетраедра (AT):
З іншого боку, якщо ми хочемо обчислити об’єм, ми повинні знайти висоту багатогранника. Для цього ми керуватимемось таким зображенням:
Спочатку обчислимо висоту (h) основи (трикутник ABC у цьому прикладі), яка є відрізком EB. Кут X вимірює 90 °, тому теорема Піфагора повинна бути виконана, а гіпотенуза (BA), яка вимірює a (довжина всіх ребер у цьому тетраедрі), дорівнює сумі кожного квадрата в квадраті. Один з катетів - EA, це середина відрізка AC (E розрізає бік на дві рівні частини) і вимірює a / 2. Також другий катет - це висота основи (h або EB).
Тоді за властивістю правильного тетраедра, причому F є центром трикутника, EF становитиме третину відрізка EB, тобто третину h.
Наступним кроком, щоб знайти висоту тетраедра (DF), ми можемо знову застосувати теорему Піфагора, оскільки, оскільки висота перпендикулярна, кут Y правильний (він вимірює 90º).
Дивлячись на трикутник DEF, гіпотенуза дорівнює DE, що є висотою трикутника ADC, а оскільки всі грані рівні, це однакова висота h трикутника ABC. У свою чергу, один катет - це висота тетраедра (DF), який ми будемо називати ht, а інший катет - відрізок EF, який ми вже обчислили. Тому:
Нарешті, щоб знайти об’єм тетраедра (V), як ми вже пояснювали раніше, ми множимо висоту фігури (ht) на площу основи (A), яка обчислюється вище, і ділимо її на три:
Приклад тетраедра
Якщо припустити, що тетраедр правильний, а кожна сторона його граней дорівнює 20 метрів. Яка площа (AT) та об’єм (V) фігури?
