Фрактальна геометрія - це та галузь геометрії, яка вивчає фрактали. Це складні об’єкти зі структурою, яка повторюється, коли ми спостерігаємо її в різних масштабах.
Іншими словами, фрактали складаються з частин, подібних до цілого і являють собою неправильну структуру. Давайте подумаємо про головку брокколі, яка, розділивши її, ділиться на кілька менших брокколі.
Фрактальна геометрія народилася з необхідності кращого наближення до реальності, оскільки геометрія площини та геометрія космосу вивчають фігури та тіла, які дуже важко знайти в природі.
Вважайте, що гори не є конусами, і навіть якщо єгипетські піраміди, якщо ми їх уважно розглянемо, матимуть певні нерівності на своїх поверхнях. Ці недоліки називаються якістю шорсткості, і це характеристика, яка додає фрактальну геометрію об’єктам, які вже не мають лише периметра, площі та об’єму.
Виникнення фрактальної геометрії
Походження фрактальної геометрії започаткував математик Бенуа Мандельброт, а також його найбільша літературна праця: "Фрактальна геометрія природи", опублікована в 1982 році.
Слово фрактал походить від латинського слова "fractus", що означає зламаний або зламаний, і було придумане Мандельбротом в 1975 році.
Варто згадати, що, хоча Мандельброт формалізував дослідження фрактальної економіки, він не був першим, хто помітив існування фракталів у природі. Наприклад, якщо ми подивимось на роботу відомого японського живописця Кацусіки Хокусая, то побачимо, що ця концепція застосовується (і сам Мандельброт згадував про це в інтерв’ю). Наприклад, на картині «Велика хвиля» ми спостерігаємо, як усередині хвилі є інші менші хвилі.
Характеристика фракталу
Основними характеристиками фракталу є наступні:
- Самоподібність: Це стосується того, про що ми вже згадували раніше. Якщо ми розглянемо частину фракталу в більшому масштабі (більш уважно), вона буде виглядати так само, як і весь об’єкт. Тобто частина подібна до цілої, хоча це не завжди точно відповідає дійсності. Наприклад, уявімо собі ромб, що складається з безлічі маленьких ромбів. Хоча розмір цих ромбів дещо змінюється, це був би фрактал.
- Фрактальна розмірність не дорівнює топологічній розмірності: Щоб пояснити топологічну розмірність, уявімо, що у нас є площина, поділена на сітки, як сітка. Тож я малюю лінію, яка проходить через 2 сітки. Якби я розділив усі сітчасті сітки на дві частини, лінія проходила б через 4 сітки. Тобто він множиться на 2, що дорівнює коефіцієнту зменшення (2), підвищеному до 1 (2 = 21), що, вартістю надмірності, є кількість розмірів лінії. Тепер, якщо у нас є багатокутник, двовимірна фігура, відбувається щось подібне. Наприклад, якщо у нас є квадрат, який охоплює чотири сітки, і ми знову застосовуємо коефіцієнт зменшення 2, квадрат охоплюватиме 16 сіток. Тобто кількість сіток (4) множиться на 4, тобто 2 піднімається до 2 (2 = 22), показник - це кількість розмірів у квадраті. Однак все вищесказане не відповідає дійсності фракталів.
- Їх неможливо розрізнити в будь-який момент: Це математично означає, що похідну представленої функції неможливо обчислити. У візуальному плані це означає, що графік не є суцільним, але має піки, тому неможливо зробити виведення.
Застосування фрактальної геометрії
Фрактальна геометрія може застосовуватися в різних сферах. Наприклад, у 1940 р. Льюїс Фрай Річардсон спостерігав, що різні кордони між країною та країною змінюються залежно від масштабу вимірювання. Тобто, якщо ми виміряємо географічний контур, результат буде відрізнятися залежно від довжини використовуваної лінійки. Це послужило посиланням на Мандельброта в його статті 1967 року, опублікованій у журналі Science: "Скільки триває узбережжя Великобританії?"
Це можна пояснити, якщо взяти до уваги, що географічні території є фракталами, і, коли ми бачимо їх у більшому масштабі, ми бачимо більше нерівностей.
Іншим застосуванням фрактальної геометрії є аналіз сейсмічних рухів та рухів на фондовому ринку.
Крім того, ми повинні визнати, що фрактали послужили натхненням для таких художників, як згадана Хокуса, і у нас також є випадок з Джексоном Поллоком.