Математичне сподівання випадкової величини X - це число, яке виражає середнє значення явища, яке представляє ця змінна.
Математичне сподівання, яке також називають очікуваним значенням, дорівнює сумі ймовірностей існування випадкової події, помноженої на значення випадкової події. Іншими словами, це середнє значення набору даних. Це, беручи до уваги, що термін математичне сподівання введений теорією ймовірності.
У математиці середнє значення події, що сталася, називається математичним середнім. У дискретних розподілах з однаковою ймовірністю в кожній події середнє арифметичне збігається з математичним сподіванням.
Приклад математичного сподівання
Побачимо простий приклад, щоб зрозуміти це.
Уявімо собі монету. Дві голови, голови та хвости. Яким було б математичне сподівання (очікуване значення), що воно вийде головним?
Математичне сподівання розраховувалося б як імовірність того, що, перевернувши монету дуже велику кількість разів, вона з’явиться.
Оскільки монета може потрапити лише в одну з цих двох позицій, і обидві мають однакову ймовірність вийти, ми скажемо, що математичне сподівання, що вона вийде головами, - це одне з двох, або те саме, 50% від часу.
Ми збираємося зробити тест, і ми перекинемо монету 10 разів. Припустимо, монета ідеальна.
Спіни і результат:
- Дорого.
- Хрест.
- Хрест.
- Дорого.
- Хрест.
- Дорого.
- Дорого.
- Дорого.
- Хрест.
- Хрест.
Скільки разів це було головами (ми підраховуємо C)? 5 разів Скільки разів хвости виходили (ми підраховуємо Х)? 5 разів. Ймовірність бути головами буде 5/10 = 0,5 або, як відсоток, 50%.
Після того, як ця подія сталася, ми можемо обчислити математичне середнє значення кількості разів, коли відбулася кожна подія. Дорога сторона виходила один раз на два рази, тобто 50% випадків. Середнє значення відповідає математичним очікуванням.
Розрахунок математичного сподівання
Математичне сподівання обчислюється з використанням ймовірності кожної події. Формула, яка формалізує цей розрахунок, викладається наступним чином:
Де:
- X = значення події.
- P = Імовірність того, що відбудеться.
- i = Період, в якому відбувається ця подія.
- N = Загальна кількість періодів або спостережень.
Імовірність настання події не завжди однакова, як у монет. Існує незліченна кількість випадків, коли одна подія має більше шансів вийти назовні, ніж інша. Ось чому ми використовуємо P. У формулі ми також повинні помножити на значення події при обчисленні математичних чисел. Нижче ми бачимо приклад.
Для чого використовується математичне сподівання?
Математичне сподівання використовується у всіх тих дисциплінах, в яких наявність імовірнісних подій їм властива. Такі дисципліни, як теоретична статистика, квантова фізика, економетрика, біологія або фінансові ринки. Велика кількість процесів та подій, що відбуваються у світі, є неточними. Яскравим і зрозумілим прикладом є ринок акцій.
На фондовому ринку все розраховується виходячи з очікуваних значень.Чому очікувані значення? Тому що це те, що ми сподіваємось, відбудеться, але ми не можемо цього підтвердити. Все базується на ймовірностях, а не на впевненості. Якщо очікувана вартість або математичне сподівання на повернення активу становить 10% на рік, це означає, що, виходячи з інформації, яку ми маємо в минулому, найімовірніше, що віддача знову буде 10%. Якщо ми враховуємо лише, звичайно, математичні очікування як метод прийняття наших інвестиційних рішень.
У рамках теорій фінансового ринку багато хто використовує цю концепцію математичного сподівання. Серед цих теорій є та, яку Марковіц розробив на ефективних гаманцях.
У цифрах, що значно спрощують, припустимо, що прибутковість фінансового активу така:
Рентабельність у 1, 2, 3 та 4 роки.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Очікуваним значенням буде сума прибутку, помножена на їх вірогідність. Імовірність того, що кожна прибутковість «трапиться», становить 0,25. У нас є чотири спостереження, чотири роки. Щороку у них однакова ймовірність повторення.
Сподівання = (12 х 0,25) + (6 х 0,25) + (15 х 0,25) + (12 х 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Беручи до уваги цю інформацію, ми скажемо, що очікувана віддача активу становить 11,25%.
Ймовірна тривалість життя