Центральна гранична теорема (TCL) - це статистична теорія, яка стверджує, що з урахуванням досить великої випадкової вибірки сукупності розподіл вибіркових засобів буде слідувати нормальному розподілу.
Крім того, TCL зазначає, що із збільшенням обсягу вибірки середнє значення вибірки наближатиметься до середнього показника сукупності. Тому за допомогою TCL ми можемо визначити розподіл середнього значення вибірки певної сукупності з відомою дисперсією. Отже розподіл буде слідувати нормальному розподілу, якщо обсяг вибірки досить великий.
Основні властивості центральної граничної теореми
Центральна гранична теорема має ряд дуже корисних властивостей у статистичному та імовірнісному полі. Основними з них є:
- Якщо розмір вибірки досить великий, розподіл засобів вибірки приблизно слідуватиме нормальному розподілу. TCL вважає вибірку великою, коли її розмір більше 30. Тому, якщо вибірка більше 30, середнє значення вибірки матиме функцію розподілу, близьку до нормальної. І це вірно незалежно від форми розподілу, з якою ми працюємо.
- Середнє значення сукупності та середнє значення вибірки будуть однаковими. Тобто середнє значення розподілу всіх вибіркових засобів буде дорівнює середньому загальної сукупності.
- Дисперсія розподілу середніх значень вибірки становитиме σ² / n. Яка дисперсія сукупності поділена на обсяг вибірки.
Те, що розподіл вибірки означає, що воно схоже на звичайне, надзвичайно корисно. Оскільки нормальний розподіл дуже легко застосувати для проведення перевірок гіпотез та побудови довірчих інтервалів. У статистиці досить важливим є нормальний розподіл, оскільки багато статистичні дані вимагають такого типу розподілу. Крім того, TCL дозволить нам зробити висновок про середнє значення сукупності через середнє значення вибірки. І це дуже корисно, коли через брак коштів ми не можемо зібрати дані з цілої сукупності.
Приклад центральної граничної теореми
Уявімо, що ми хочемо проаналізувати середню історичну віддачу індексу S&P 500, який, як ми знаємо, налічує близько 500 компаній. Але у нас недостатньо інформації, щоб проаналізувати всі 500 компаній, що входять до індексу. У цьому випадку середня прибутковість S&P 500 буде середньою чисельністю населення.
Тепер, слідуючи TCL, ми можемо взяти вибірку з цих 500 компаній для проведення аналізу. Єдине обмеження, яке ми маємо, полягає в тому, що у вибірці повинно бути більше 30 компаній, щоб теорема була виконана. Тож уявімо, що ми випадковим чином відбираємо 50 компаній з індексу і повторюємо процес кілька разів. Кроки, яких слід виконати у прикладі, будуть такими:
- Ми обираємо вибірку близько 50 компаній і отримуємо середню прибутковість всієї вибірки.
- Ми постійно вибираємо 50 компаній і отримуємо середню рентабельність.
- Розподіл усіх середніх показників віддачі від усіх вибраних зразків буде наближеним до нормального розподілу.
- Середня віддача всіх вибраних зразків буде наближена до середньої віддачі загального індексу. Як показує центральна гранична теорема.
Отже, роблячи висновок із середньої віддачі вибірки, ми можемо наблизитись до середньої віддачі індексу.