Властивості оцінювачів

Властивості оцінювачів - це якості, якими вони можуть володіти і які служать для вибору тих, які більш здатні дати хороші результати.

Для початку з визначення поняття оцінювача ми скажемо, що для будь-якої випадкової вибірки (x₁, х₂, х₃,…, X_п) оцінювач представляє сукупність, яка залежить від φ параметра, якого ми не знаємо.

Цей параметр, який ми позначаємо грецькою літерою fi (φ), може бути, наприклад, середнім значенням будь-якої випадкової величини.

Математично однопараметричний оцінювач Q залежить від випадкових спостережень у вибірці (x₁, х₂, х₃,…, X_п) та відома функція (h) вибірки. Оцінювач (Q) буде випадковою величиною, оскільки це залежить від вибірки, яка містить випадкові величини.

Q = h (x₁, х₂, х₃,…, X_п)

Безсторонність оцінювача

Оцінювач Q для φ є неупередженим оцінювачем, якщо E (Q) = φ для всіх можливих значень φ. Визначаємо E (Q) як очікуване значення або очікування оцінювача Q.

У випадку необ'єктивних оцінювачів це упередження буде представлено у вигляді:

Упередження (Q) = E (Q) - φ

Ми бачимо, що зміщення - це різниця між очікуваним значенням оцінювача E (Q) та справжнім значенням параметра сукупності, φ.

Оцінка балів

Ефективність оцінювача

Так Q₁ та Q₂ є двома неупередженими оцінювачами φ, їх зв'язок з Q буде ефективним₂ коли Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) для будь-якого значення φ, якщо статистична вибірка φ суворо перевищує 1, n> 1. Де Var - дисперсія, а n - обсяг вибірки.

Інтуїтивно висловившись, припускаючи, що у нас є дві оцінки з неупередженою властивістю, ми можемо сказати, що одна (Q₁) ефективніший за інший (Q₂), якщо мінливість результатів одного (Q₁) менше, ніж у іншого (Q₂). Логічно думати, що одне, що відрізняється більше, ніж інше, є менш "точним".

Тому ми можемо використовувати цей критерій лише для вибору оцінювачів, коли вони є неупередженими. У попередньому твердженні, коли ми визначаємо ефективність, ми вже припускаємо, що оцінювачі повинні бути неупередженими.

Для порівняння оцінювачів, які не обов'язково є неупередженими, тобто може існувати упередження, рекомендується розрахувати середньоквадратичну помилку (MSE) оцінювачів.

Якщо Q є оцінювачем φ, тоді ECM Q визначається як:

Помилка середньої площі (MSE) обчислює середню відстань, яка існує між очікуваним значенням оцінювача вибірки Q та оцінювачем сукупності. Квадратична форма ECM обумовлена ​​тим, що помилки можуть бути за замовчуванням, від’ємними або надлишковими, позитивними щодо очікуваного значення. Таким чином, ECM завжди обчислює позитивні значення.

ECM залежить від дисперсії та упередженості (якщо така є), що дозволяє нам порівнювати дві оцінки, коли одна або обидві є упередженими. Той, чий NDE більший, буде розумітись менш точним (має більше помилок) і, отже, менш ефективним.

Послідовність оцінювача

Послідовність є асимптотичною властивістю. Ця властивість нагадує властивість ефективності з тією різницею, що узгодженість вимірює ймовірну відстань між значенням оцінювача та справжнім значенням параметра сукупності, оскільки обсяг вибірки незмінено збільшується. Це невизначене збільшення обсягу вибірки є основою асимптотичної властивості.

Існує мінімальний розмір вибірки для проведення асимптотичного аналізу (перевірте узгодженість оцінювача зі збільшенням вибірки). Великі наближення вибірки добре працюють для зразків близько 20 спостережень (n = 20). Іншими словами, ми хочемо побачити, як поводиться оцінювач, коли ми збільшуємо вибірку, але це збільшення має тенденцію до нескінченності. Враховуючи це, ми робимо апроксимацію, і з 20 спостережень у вибірці (n ≥ 20), асимптотичний аналіз є доцільним.

Математично визначимо Q₁n як оцінювач φ з будь-якої випадкової вибірки (x₁, х₂, х₃,…, X_п) розміру (п). Отже, можна сказати, що Q_п є послідовним оцінювачем φ, якщо:

Це говорить нам, що різниця між оцінювачем та його сукупністю, | Q_п - φ |, вони повинні бути більшими за нуль. Для цього ми виражаємо це в абсолютному значенні. Імовірність цієї різниці має тенденцію до 0 (стає все меншою і меншою), коли обсяг вибірки (п) прагне до нескінченності (стає все більшим і більшим).

Іншими словами, все рідше Q_п рухається занадто далеко від φ, коли обсяг вибірки збільшується.