Дисперсійно-коваріаційна матриця - що це таке, визначення та поняття
Матриця дисперсії-коваріації - це квадратна матриця розмірності nxm, яка збирає дисперсії в головній діагоналі та коваріації в елементах за межами головної діагоналі.
Іншими словами, матриця дисперсії-коваріації - це матриця, яка має однакову кількість рядків і стовпців і має дисперсії, розподілені по головній діагоналі, і коваріації на елементах поза головною діагоналлю.
КоваріаціяМатричне представлення
Матриця дисперсії-коваріації зазвичай виражається як
Хоча здається, що це символ підсумовування і що він не має відношення до матриці дисперсії та коваріації, ця грецька буква чудово представляє зміст цієї матриці.
Щоб зрозуміти це, давайте спочатку розглянемо його вираз:
Знаючи, що є м стовпці, крапка вказує, що стовпці між другим і останнім стовпцями опущені. Так само, знаючи, що є п рядків, еліпсис вказує на те, що рядки між другим і останнім рядками опущені.
У цьому випадку ми використовуємо сигму для представлення коваріантностей та сигму в квадраті для дисперсій. Як приклад:
Яка грецька буква фігурує у всіх елементах матриці? Сигма.
Отже, логічно, що для визначення матриці дисперсії-коваріації також використовується сигма.
Грецький лист
є формою капіталу
Отже, якщо ми пам’ятаємо, що матриця дисперсії та коваріації виражається як велика літера сигми, буде легше запам’ятати її визначення.
Вимоги, щоб вона мала дисперсійно-коваріаційну матрицю
Вимоги до матриці, яка має бути дисперсійно-коваріаційною, такі:
- Квадратна матриця: така ж кількість рядків (n), що і стовпці (m), тоді, n = m, а отже, розмірність цієї матриці може бути виражена як nxm, так і nxn.
- В головна діагональ там є дисперсії:
- Від головної діагоналі там є коваріантності:
Додаток
Дисперсійно-коваріаційна матриця дуже популярна в економетриці, оскільки вона використовується в основному для матричного обчислення коефіцієнтів лінійної регресії, використовуючи, серед іншого, звичайні найменші квадрати.
У фінансах він використовується для отримання загальної картини мінливості фінансових активів.
Математичний вираз дисперсії та коваріації
Математика виражається таким чином:
- Коваріація елемента n = 1 і m = 2
- Дисперсія елемента n = 1 і m = 1
Як дисперсію, так і коваріацію можна виправити. Тобто знаменник - n-1 замість n. Це пов’язано зі ступенем свободи і залежить від того, чи ми говоримо про чисельність чи вибіркові відхилення та коваріації.
