Теорія множин - це розділ математики (і логіки), який присвячений вивченню характеристик множин та операцій, які можна виконувати між ними.
Тобто теорія множин - це область дослідження, орієнтована на множини. Отже, він відповідає за аналіз як атрибутів, якими вони володіють, так і відносин, які можна встановити між ними. Тобто його об’єднання, перетин, доповнення чи інше.
Треба пам’ятати, що набір - це група елементів, будь то цифри, букви, слова, функції, символи, геометричні фігури чи інші.
Для визначення множини зазвичай визначають характеристику, спільну для її елементів. Наприклад, набір A із цілими числами, додатними та парними числами менше 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Історія теорії множин
Історію теорії множин можна простежити за роботами Георга Кантора, німецького математика російського походження, який вважається батьком цієї дисципліни.
Серед тем, які вивчав Кантор, виділяється, наприклад, тема нескінченних множин та числових множин.
Перша робота Кантора з теорії множин датується 1874 р. Крім того, варто згадати, що він часто обмінювався ідеями з математиком Річардом Дедекіндом, який сприяв вивченню натуральних чисел.
Числові множини
Числові множини - це різні угруповання, в яких числа класифікуються відповідно до їх різних характеристик. Це абстрактна конструкція, яка має важливе застосування в математиці.
Числові множини є складними, уявними, дійсними, ірраціональними, раціональними, цілими та природними, і їх можна проілюструвати на такій діаграмі Венна:
Комплексні числаУявні числаДійсні числаІрраціональні числаРаціональні числаЦілі числаНатуральні числа
Встановити алгебру
Алгебра множин охоплює відносини, які можна встановити між ними.
Таким чином, виділяються такі операції:
- Союз наборів: Об'єднання двох або більше наборів містить кожен елемент, який міститься принаймні в одному з них.
- Перетин множин: Перетин двох або більше множин включає всі елементи, які ці множини поділяють або мають спільними.
- Встановити різницю: Різниця однієї множини щодо іншої дорівнює елементам першої множини мінус елементи другої.
- Додаткові набори: Доповнення набору включає всі елементи, які не містяться в цьому наборі (але які належать до іншого набору посилань).
- Симетрична різниця: Симетрична різниця двох наборів включає всі елементи, що знаходяться в тому чи іншому, але не обидва одночасно.
- Декартовий продукт: Це операція, результатом якої є новий набір. Він містить як елементи упорядковані пари або кортежі (упорядковані ряди) елементів, що належать до двох або більше наборів. Вони впорядковані пари, якщо це два набори, і кортежі, якщо їх більше двох наборів.