Розподіл Пуассона - це дискретний розподіл ймовірностей, який моделює частоту певних подій протягом фіксованого інтервалу часу на основі середньої частоти виникнення цих подій.
Іншими словами, розподіл Пуассона - це дискретний розподіл ймовірностей, який, лише знаючи події та їх середню частоту виникнення, ми можемо дізнатися їх імовірність.
Вираз розподілу Пуассона
Враховуючи дискретну випадкову величину X, ми говоримо, що її частоту можна задовільно наблизити до розподілу Пуассона, так що:
На відміну від нормального розподілу, розподіл Пуассона залежить лише від одного параметра mu (позначений жовтим кольором).
Mu повідомляє очікувану кількість подій, які відбудуться за встановлений інтервал часу. Говорячи про щось "очікуване", ми маємо перенаправляти це, щоб думати про середнє значення. Отже, mu - середнє значення частоти подій.
Як середнє значення, так і дисперсія цього розподілу дуже суворо позитивні.
Представництво
Враховуючи розподіл Пуассона із середнім значенням 2, розподіл ймовірності щільності є таким:
Функція визначена лише для цілих значень x.
Не всі розподіли ймовірностей щільності Пуассона будуть виглядати однаково, навіть якщо зразки залишаються однаковими. Якщо ми змінимо середнє значення, тобто параметр, від якого залежить функція, функція також зміниться.
Функція щільності ймовірності (pdf)
Ця функція розуміється як ймовірність того, що випадкова величина X приймає конкретне значення x. Це експоненція від’ємного середнього, помножена на середнє значення, піднесене до спостереження, і все ділиться на факторіал спостереження.
Як було зазначено, щоб знати ймовірність кожного спостереження, нам доведеться підставити всі спостереження у функцію. Іншими словами, x - вектор розмірності n, який містить усі спостереження випадкової величини X. Середнє значення також було б вектором, але одного виміру, таким, що:
Отримавши розраховані ймовірності, разом із спостереженнями можна скласти розподіл щільності ймовірності.
Історія
Назва цього розподілу походить від його творця, Сімеона-Дениса Пуассона (1781-1840), французького математика і філософа, який хотів змоделювати частоту подій протягом фіксованого інтервалу часу. Він також брав участь у вдосконаленні закону великих чисел.
Додаток
Розподіл Пуассона використовується в області операційного ризику для моделювання ситуацій, в яких відбувається операційна втрата. В умовах ринкового ризику процес Пуассона використовується для часу очікування між фінансовими операціями у високочастотних базах даних. Також кредитний ризик враховується для моделювання кількості банкрутств.
Приклад
Ми припускаємо, що ми в зимовому сезоні, і хочемо покататися на лижах до грудня. Імовірність того, що гірськолижні курорти відкриються до грудня, становить 5%. Зі 100 гірськолижних курортів ми хочемо знати ймовірність того, що найближчий гірськолижний курорт відкриється до грудня. Оцінка цього гірськолижного курорту становить 6 балів.
Вхідними даними, необхідними для обчислення функції ймовірності щільності Пуассона, є набір даних і mu:
- Набір даних = 100 гірськолижних курортів.
- Mu = 5% * 100 = 5 - очікувана кількість гірськолижних курортів з урахуванням набору даних.
Тож найближча станція має 14,62% шансів, що вона відкриється до грудня.
Імовірність частоти