Біноміальний розподіл - це дискретний розподіл ймовірностей, який описує кількість успіхів при проведенні n незалежних експериментів на випадковій величині..
Існує велика різноманітність експериментів або подій, які можна охарактеризувати за такого розподілу ймовірностей. Уявіть жеребкування монети, в якому ми визначаємо подію «удари головами» як успіх. Якщо ми кинемо монету 5 разів і підрахуємо отримані хіти (голови), наш розподіл ймовірностей відповідав биномному розподілу.
Отже, біноміальний розподіл розуміється як серія тестів чи випробувань, в яких ми можемо мати лише 2 результати (успіх чи невдача), успіх є нашою випадковою величиною.
Властивості біноміального розподілу
Щоб випадкова величина розглядалася як біноміальний розподіл, вона повинна відповідати таким властивостям:
- У кожному дослідженні, експерименті чи тесті можливі лише два результати (успіх чи невдача).
- Ймовірність успіху повинна бути постійною. Це представлено літерою p. Імовірність перекидання головки монети становить 0,5, і це постійно, оскільки монета не змінюється в кожному експерименті, а ймовірність голови незмінна.
- Імовірність відмови також повинна бути постійною. Це представлено літерою q = 1-p. Важливо зазначити, що за допомогою цього рівняння, знаючи p або знаючи q, ми можемо отримати те, чого нам бракує.
- Результат, отриманий у кожному експерименті, не залежить від попереднього. Тому те, що відбувається в кожному експерименті, не впливає на наступні.
- Події взаємовиключні, тобто обидва вони не можуть відбуватися одночасно. Неможливо бути чоловіком і жінкою одночасно, або що під час кидання монети вона вийде одночасно головами та хвостами.
- Події колективно вичерпні, тобто принаймні одна з двох повинна відбутися. Якщо ви не чоловік, ви жінка, і якщо ви кидаєте монету, якщо вона не піднімається, це повинні бути хвости.
- Випадкова величина, яка слідує за біноміальним розподілом, зазвичай представляється як X ~ (n, p), де n являє собою кількість випробувань або експериментів, а p - ймовірність успіху.
Формула біноміального розподілу
Формула для розрахунку нормального розподілу:
Де:
n = Кількість випробувань / експериментів
x = кількість успіхів
p = ймовірність успіху
q = ймовірність відмови (1-p)
Важливо зазначити, що вираз у квадратних дужках не є матричним виразом, а є результатом комбінаторного без повторення. Це отримується за такою формулою:
Оклик у попередньому виразі представляє факторний символ.
Приклад біноміального розподілу
Уявімо, що 80% людей у світі бачили фінальний матч останнього чемпіонату світу з футболу. Після події 4 друзі зустрічаються, щоб поговорити. Яка ймовірність того, що 3 з них бачили гру?
Давайте визначимо змінні експерименту:
n = 4 (це загальна вибірка, яку ми маємо)
x = кількість успіхів, яка в даному випадку дорівнює 3, оскільки ми шукаємо ймовірність того, що 3 з 4 друзів бачили це.
p = ймовірність успіху (0,8)
q = ймовірність поломки (0,2). Цей результат отримують відніманням 1-р.
Визначивши всі наші змінні, ми просто підставляємо у формулу.
Чисельник факторіалу отримали б множенням 4 * 3 * 2 * 1 = 24, а в знаменнику ми мали б 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Отже, результат факторіалу був би 24/6 = 4 .
Поза дужкою маємо два числа. Першим буде 0,8 3 = 0,512, а другим 0,2 (оскільки 4-3 = 1 і будь-яке число, підняте до 1, однакове).
Отже, наш кінцевий результат буде: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Якщо помножити на 100, ми маємо 40,96% ймовірності, що 3 із 4 друзів бачили фінальний матч Кубка світу.