Модуль вектора та теорема Піфагора

Модуль вектора - це довжина відрізка, орієнтованого в просторі, що визначається двома точками та їх порядком.

Іншими словами, модулем вектора є довжина між початком і кінцем вектора, тобто там, де стрілка починається і де закінчується.

Враховуючи будь-який двовимірний вектор:

Інформацією, яку дають нам координати вектора, тобто vx та vy, є його довжина для осі x та довжина для осі y відповідно.

Отже, якщо ми знаємо координати, ми можемо обчислити модуль вектора.

Модуль вектора та теорема Піфагора

Чи не нагадує вам попередній малюнок геометричну фігуру?

Точно ми можемо уявити, що координатні осі поруч із вектором утворюють прямокутник з основою vx та висотою vy. Ми можемо розділити цей прямокутник на два симетричні трикутники, тобто обидва вони матимуть однакову основу та висоту.

Синьотінистий трикутник має основу vx і висоту vy. Отже, знаючи цю інформацію, ми можемо знати її гіпотенузу. Існує дуже відома теорема, відома як теорема Піфагора, яка використовується для цих обчислень.

Демонстрація

Ми знаємо, що формула Піфагора така:

Де h - гіпотенуза, c - одна ніжка, а c - інша ніжка.

У нашому випадку ми знаємо, скільки коштують наші ноги, іншими словами, основа та зріст. Отже, ми можемо підключити цю інформацію до рівняння:

Приступаємо до видалення квадрата h, застосовуючи квадратний корінь:

Якщо сказати, що vx = 3 і vy = 6:

Отже, якби v був вектором з координатами (3,6), то ми б знали, що його модуль дорівнює 6,7082. Точно, його модуль, оскільки формула для модуля будь-якого вектора v має вигляд:

Ми бачимо, що саме та інформація, якої нам не вистачає в рівнянні, збігається з гіпотенузою. Іншими словами, довжина вектора - це те, що ми хочемо обчислити, а гіпотенуза - це діагональ трикутника. Отже, можна зробити висновок, що використання теореми Піфагора для обчислення модуля вектора є дійсним методом.

Отже, якщо нам потрібно обчислити модуль вектора і ми не пам’ятаємо формулу, ми можемо подумати про теорему Піфагора і вирішити проблему.

Вправа вирішено

Обчисліть модуль вектора v з координатами (-3, -6), застосовуючи теорему Піфагора.

Модуль вектора v з координатами (-3,6), обчислений за формулою теореми Піфагора, також становить 6,7082.