Набір алгебри - що це таке, визначення та поняття

Алгебра множин - це область вивчення, в рамках математики та логіки, орієнтована на операції, які можна виконувати між множинами.

Алгебра множин є частиною того, що ми знаємо як теорію множин.

Слід пам'ятати, що набір - це групування елементів різного роду, таких як літери, цифри, символи, функції, геометричні фігури та ін.

Набір операцій

Основними операціями з наборами є наступні:

• Союз: Об'єднання двох або більше наборів містить усі елементи, які належать принаймні одному з цих наборів. Це позначається літерою U.

А = (9,34,57,6,9)

Б = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Перетин: Перетин двох або більше наборів включає елементи, якими поділяються ці набори. Це позначається перевернутим U (∩). Приклад:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Різниця: Різниця однієї множини щодо іншої дорівнює елементам першої множини мінус елементи другої. Це позначається символом або -. По-іншому, x ∈ a A B, якщо x ∈ A, але x ∉ B. Приклад:

A = (21,34,56,17,7)

Б = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Доповнення: Доповнення набору включає всі елементи, які не містяться в цьому наборі (але які належать до іншого універсального посилального набору). Це позначається верхнім індексом C. Приклад:

А = (3,9,12,15,18)

U (Всесвіт) = Усі кратні 3, які є цілими натуральними числами менше 30.

ДО^C.=(6,21,24,27)

• Симетрична різниця: Симетрична різниця двох наборів включає всі елементи, що знаходяться в тому чи іншому, але не обидва одночасно. Тобто це об’єднання множин мінус їх перетин. Його символом є Δ. Приклад:

A = (17.81.99.131.65.32)

В = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Декартовий продукт: Це операція, результатом якої є новий набір, який містить як елементи упорядковані пари або кортежі (упорядковані ряди) елементів, що належать до двох або більше наборів. Вони впорядковані пари, якщо це дві множини, і кортежі, якщо у нас більше двох множин. Приклад:

А = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Закони алгебри множин

Закони алгебри множин такі:

• Ідемпотентність: Об'єднання або перетин множини з собою приводить до того самого множини:

XUX = X

X∩X = X

• Комутативний: Порядок множників не змінює результат при знаходженні об'єднання або перетину множин:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Поширення: Об'єднання множини X із перетином двох інших множин Y та Z дорівнює перетину об'єднання X та Y із об'єднанням X та Z. Тобто:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Крім того, те саме справедливо, якщо змінити порядок операцій:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Асоціативний: Умови об'єднання або операції перетину декількох множин можна згрупувати нечітко, завжди отримуючи однаковий результат:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Закон Моргана: Доповнення об’єднання двох множин дорівнює перетину їх доповнень, а доповнення перетину двох множин - об’єднанню їх доповнень.

(XUY)^C.= X^C.∩Y^C.

(X∩Y)^C.= X^C.Ух^C.

• Різничний закон: Різниця одного набору відносно іншого дорівнює перетину першого з доповненням другого:

(X-Y) = X∩Y^C.

• Закони доповнення:
  • Об'єднання множини з її доповненням не дорівнює універсальній множині. XUX^C.= U
  • Перетин множини з її доповненням дорівнює нульовому або порожньому множині. X∩X^C.=∅
  • Доповнення доповнення множини X дорівнює множині X. (X^C.)^C.= X
  • Доповнення універсального набору дорівнює нульовому або порожньому набору. X^C.=∅
  • Доповнення порожнього набору дорівнює універсальному набору. ∅^C.= U

• Закони поглинання:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C.∩Y) = XUY
  • X∩ (X^C.UY) = X∩Y