Антисиметрична матриця - що це таке, визначення та поняття

Антисиметрична матриця - це квадратна матриця, де елементи за межами головної діагоналі симетрично рівні, але ті, що знаходяться нижче основної діагоналі, мають негативний знак.

Іншими словами, антисиметрична матриця - це матриця, яка має однакову кількість рядків (n) і стовпців (m), а елементи по обидва боки від головної діагоналі доповнюють один одного.

Оскільки елементи зверху та нижче головної діагоналі зміщені, елементи на головній діагоналі є нулями.

Рекомендована стаття: несиметрична матриця та симетрична матриця.

Характеристика антисиметричної матриці

Характеристиками антисиметричної матриці є:

• Квадратна матриця.
• Симетрична матриця + від’ємний знак (-) в елементах нижче основної діагоналі.
• Елементами головної діагоналі є нулі (0).

Антисиметрична матриця

Дано квадратну матрицю ACE,

Ми можемо бачити, як однакові елементи з’являються по обидва боки від головної діагоналі, але з тією особливістю, що елементи нижче основної діагоналі мають негативний знак попереду. Крім того, основну діагональ складають нулі.

Антисиметрична матриця та дзеркала

Так само, як симетрична матриця, антисиметричну матрицю можна також зрозуміти на прикладі дзеркала.

Якщо ми подивимося в дзеркало і піднімемо праву руку, то побачимо, що людина в дзеркалі піднімає ліву руку. Іншими словами, рух дзеркала доповнює наш, і, отже, сума обох призведе до нуля.

Ми можемо висловити вищезазначену ідею таким чином і вивести:

(Підніміть руку правильно) - (Підніміть руку зліва) = 0

(Підніміть руку правильно) = (Підніміть руку зліва)

Головна діагональ діє як дзеркало, і ми бачимо протилежні елементи по обидва боки від головної діагоналі. Нейтральна функція (=) відображається на головну діагональ.

Власність

• Транспонована матриця антисиметричної матриці дорівнює антисиметричній матриці, помноженій на (-1).

Іншими словами, це було б як додавання від’ємного знака перед антисиметричною матрицею.

Математично,

Ми бачимо, що за допомогою обох процедур ми отримуємо однаковий результат: перенесення матриці або множення на (-1) антисиметричної матриці.

Несиметрична матриця проти антисиметричної матриці проти симетричної матриці

Прикладу дзеркала у випадку симетричної матриці достатньо, щоб воно відображало той самий рух, тобто якщо ми піднімаємо руку, ми можемо побачити підняту руку, але не потрібно вказувати, що це таке. У випадку з антисиметричною матрицею нам потрібно перевірити, яку руку ми бачимо в дзеркалі, та визначити, чи є вона антисиметричною матрицею.

Якщо ми піднімаємо руку і в дзеркалі бачимо, що …

• Ця ж рука піднята, з точки зору людини в дзеркалі, тоді це симетрична матриця.

• Протилежна рука піднята, з точки зору людини в дзеркалі, тоді це антисиметрична матриця.

• Якщо жодна рука не піднята або не піднята більше, з точки зору людини в дзеркалі, то це несиметрична матриця.