Нерівність Чебишева - це теорема, що використовується в статистиці, що забезпечує консервативну оцінку (довірчий інтервал) ймовірності того, що випадкова величина з кінцевою дисперсією буде знаходитися на певній відстані від її математичного сподівання або її середнього значення.
Формальний вираз його такий:
X = передбачуване значення
µ = Математичне сподівання розрахункового значення
Ϭ = Стандартне відхилення очікуваного значення
k = Кількість стандартних відхилень
Починаючи з цього загального виразу та розробляючи частину, яка залишається в межах абсолютного значення, ми мали б таке:
Якщо звернути увагу на попередній вираз, видно, що частина ліворуч не більше a довірчий інтервал. Це пропонує нам як нижню, так і верхню межу для оціночного значення. Отже, нерівність Чебишева говорить нам про мінімальну ймовірність того, що параметр популяції знаходиться в межах певної кількості стандартних відхилень вище або нижче середнього значення. Або по-іншому, це дає нам ймовірність того, що параметр популяції знаходиться в межах цього довірчого інтервалу.
Нерівність Чебишева забезпечує приблизні межі оціночної величини. Незважаючи на певний ступінь неточності, це дуже корисна теорема, оскільки її можна застосовувати до широкого діапазону випадкових величин незалежно від їх розподілу. Єдиним обмеженням для використання цієї нерівності є те, що k має бути більше 1 (k> 1).
Математична нерівністьПриклад застосування нерівності Чебишева
Припустимо, ми є менеджерами інвестиційного фонду. Портфель, яким ми управляємо, має середню віддачу 8,14% і стандартне відхилення 5,12%. Щоб знати, наприклад, який відсоток від нашої прибутковості становить принаймні 3 стандартні відхилення від нашої середньої прибутковості, ми просто застосуємо попередню формулу виразу 2.
k = 1,96
Підставивши значення k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Це означає, що 73,9% результатів знаходяться в довірчому інтервалі, який знаходиться при 1,96 стандартних відхиленнях від середнього.
Давайте зробимо попередній приклад для значень, відмінних від k.
k = 2,46
k = 3
Підставивши значення k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Підставивши значення k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Існує 83,5% даних, які знаходяться на відстані 2,46 стандартних відхилень від середнього значення і 88,9%, що знаходяться в межах 3 стандартних відхилень середнього значення.
Використовуючи нерівність Чебишева, легко зробити висновок, що чим вище значення K (чим більше відхилення оціночного значення від його середнього), тим більша ймовірність того, що випадкова величина знаходиться в межах обмеженого інтервалу.
КуртозЦентральна гранична теоремаНерівність