Теорема Фалеса - закон геометрії, який говорить нам, що якщо лінія проведена паралельно будь-якій стороні трикутника, ми матимемо трикутник, подібний до вихідного трикутника.
Іншими словами, якщо ми вирізаємо трикутник, проводячи лінію, паралельну одній із його сторін, ми отримаємо трикутник, подібний до раніше існуючого.
На цьому етапі слід зазначити, що два трикутники схожі, коли їх відповідні кути збіжні (вони вимірюють однаково), а їх гомологічні сторони пропорційні один одному.
Щоб краще це зрозуміти, давайте розглянемо наступну рисунку:
За теоремою Фалеса можна зробити висновок, що α = δ і β = ε
Крім того, як ми вже згадували раніше, сторони пропорційні, тому правда, що:
Анекдот, який розповів історик Плутарх, розповідає, що Фалес Мілетський в одній зі своїх поїздок використав цю теорему, щоб дізнатися висоту пірамід Гізи (Хеопса, Хафре та Менкауре) в Єгипті. Таким чином, він вирішив поставити палицю вертикально до землі, чекаючи, поки довжина предмета буде дорівнює тіні, яку він кидав. У той час тінь піраміди також була б дорівнює її висоті. У цьому випадку подібними трикутниками є:
- Той, двома сторонами якого є стрижень та його тінь.
- Трикутник, одна зі сторін якого має висоту піраміди, а інша сторона - її тінь.
Щоб краще це зрозуміти, уявімо на малюнку вище, що піраміда - це та, яка утворена вершинами D, E і F, її висота - відрізок ВІН, а її тінь - IE. Тим часом стрижень - це сегмент AB, а його тінь - CB. Отже, AB / CB = HE / IE. Це, беручи до уваги, що сонячні промені паралельні (вони не перетинаються або в їх подовженні), тому вони будуть утворювати з паличкою такий самий кут, як з пірамідою (кути α і β рівні).
Приклад теореми Фалеса
Щоб краще зрозуміти теорему Фалеса, давайте розглянемо наступну рисунку:
Якщо БК має розмір 7,3 метра, DE - 3,6 метра, а AB - 6,2 метра. Яка довжина AD?
Ізолюємо у формулі, показаній раніше, і маємо:
7,3 / 3,6 = 6,2 / н. Е
2,0278 = 6,2 / н. Е
AD = 3,0575 метра
Розширення теореми Фалеса
Теорему Фалеса можна поширити на аналіз будь-яких двох ліній, які перерізані іншими лініями, паралельними один одному, як ми бачимо на наступному зображенні:
Тоді, це правда, що:
Це правда, тому що ми повинні думати про ці лінії як про частину трикутника, або, щоб побачити це по-іншому, якщо продовжити лінії AB і CD, вони перетнуться. Нам краще це побачити на наступному зображенні:
Друга теорема Фалеса
Існує також друга теорема Фалеса, згідно з якою, якщо у нас є трикутник, утворений діаметром окружності і двома лініями, що перетинають її (вони розрізають фігуру в двох точках), той кут, протилежний діаметру, є правильним, тобто ,, вимірює 90º.
Слід пам'ятати, що діаметр - це той відрізок, який, проходячи через центр окружності, з'єднує дві протилежні точки зазначеної фігури.
Ми можемо побачити вищезазначене на наступному зображенні:
Ми можемо перевірити цю теорему, беручи до уваги, що AC, AD і AB вимірюють однаково і рівні радіусу окружності (радіус - це будь-який відрізок, який приєднує точку на окружності з центром фігури і дорівнює половині діаметр). Отже, трикутники ABC і ABD є рівнобедреними, а їх дві подібні сторони є протилежними кутами, які також вимірюють однаково, тобто:
AC = AD = AB = r (радіус окружності)
γ = β і α = δ
Тоді, якщо ми бачимо трикутник CBD і пам’ятаємо, що внутрішні кути трикутника повинні складати 180º, ми маємо:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Отже, трикутник CBD - це прямокутний трикутник.