Проблема Монті Холла - це імовірнісна проблема, натхненна американською телевізійною програмою "Давай домовимося".
Назва натхненна тим, хто представляв програму: Монті Холл.
Ця програма транслювалася між 1963 і 1986 роками.
Постановка проблеми Монті Холла
У задачі Монті-Холла учаснику пропонуються три двері з можливістю вибрати одну з них. Зважаючи на ваш вибір, ви можете виграти приз, схований за дверима. Тому за кожними дверима є винагорода, в одних дверях - транспортний засіб, а в інших двох - козел.
Після того, як учасник вибере двері, модератор або ведучий відкриває одну з двох інших дверей, що залишилися. Оскільки модератор знає, що знаходиться за кожними дверима, він відкриває той, який ховає козла, і показує його учаснику.
Згодом вам пропонують два варіанти: 1) залишити двері на ваш вибір або 2) змінити свій початковий вибір.
Нарешті, виникає питання, чи краще для учасника змінити чи зберегти свій вибір?
Рішення проблеми Монті Холла
Найпростіше рішення проблеми Монті Холла - інтуїтивне. Імовірність обрати двері на транспортному засобі в якості призу становить 1 із 3 (⅓). Тим часом шанси програти are.
Тобто, якщо ви дотримуєтесь свого початкового вибору, ви зберігаєте ⅓ ймовірність успіху. З іншого боку, якщо ви зміните свій вибір, ймовірність виграти транспортний засіб збільшується до ⅔.
Отже, проблема Монті Хола показує, що учасник повинен змінити свій вибір, щоб максимізувати свої шанси на вибір машини.
Цю ситуацію можна побачити на наступній діаграмі дерева. Повну ймовірність знаходять шляхом множення ймовірності кожного сегмента. Так само в кінці додаються ймовірності наїзду чи невдачі, змінивши двері. Наприклад, коли приз виходить на двері 1, і ми вибираємо інший (2 або 3), в обох випадках він виграється, змінивши варіант. Тому помилка з першого разу (що є найбільш вірогідним варіантом) збільшує ваші шанси на перемогу, змінивши свій вибір. Тим часом, якщо ви вирішите зберегти свій початковий варіант, шанси на перемогу такі ж, як на початку: ⅓.
Існують також більш вдосконалені математичні та статистичні методи, які показують, що цей результат має місце. Це так, навіть коли експеримент повторюється збільшенням числа воріт.
Чому ми можемо думати, що дотримання першого варіанту - це правильна відповідь?
Деякі з причин, чому деякі люди не вибирають найкращого рішення:
- Вони уникають, щоб події не були незалежними: Це відбувається через невдалу інтерпретацію підходу. У цьому випадку нехтується тим, що дія модератора щодо відкриття дверей залежить від початкового вибору учасника.
- Неправильний розподіл ймовірностей: Дія модератора змінює початкові шанси. Після відкриття дверей ці двері мають 0 шансів утримати транспортний засіб. Тому учасник тепер має 50% шансів вибрати машину чи козу на решті двері.
