Модель ARMA - це стаціонарна авторегресивна модель, де незалежні змінні слідують стохастичним тенденціям, а термін помилки є стаціонарним.
Іншими словами, модель ARMA включає автокореляцію та модель ковзного середнього у свою регресію.
Рекомендовані статті: теорія випадкових прогулянок, умовне середнє значення, авторегресія.
Значення ARMA
Модель ARMA, з англійської, Авторегресивна ковзна середня він розділений на дві частини:
- Авторегресія: Залежна змінна повертається до себе через певний проміжок часут.
- Ковзне середнє: Невдачі представлені випадковими процесами.
AR-модель
Математично
1. Ми почнемо з AR (p) авторегресивної моделі:
Де:
Іншими словами, термін помилки слідує за стохастичним процесом (випадкова величина).
2. Встановлюємо таку рівність:
4. Підставляємо попередню рівність в AR (p) і отримуємо:
4. Визначимо новий поліном, який залежить від R:
Тоді,
Якщо помножити новий поліном на Xт і ми передамо всі параметри та регресори ліворуч від рівного, отримаємо початковий AR (p).
З авторегресивної моделі нам залишилось останнє рівняння:
Це внесок авторегресивної моделі в модель ARMA.
Модель ковзного середнього
Модель ковзного середнього - це авторегресія, де регресорами є умови похибки кожного періодут.
Математично
1. Почнемо з авторегресивної моделі AR (p), де регресорами є термін помилки:
Як і авторегресивна модель, термін помилки слідує стохастичному процесу (випадковій величині) таким, що:
Модель ковзного середнього завжди нерухома, тобто незалежні змінні (терміни відставання з відставанням) є випадковими величинами. Іншими словами, умови помилок попереднього періоду не залежать від поточних термінів помилок і мають однаковий (ідентичний) розподіл ймовірностей із середнім значенням 0 та умовною дисперсією.
2. Встановлюємо таку рівність:
3. Підставляємо попередню рівність в AR (p) терміна помилки і отримуємо:
4. Визначимо новий поліном, який залежить від E:
Ми беремо загальний фактор:
З моделі ковзного середнього нам залишилось рівняння точки 4:
Модель ARMA (p, q)
Математично
Загальна модель авторегресійного часового ряду із ковзним середнімстор авторегресивні терміни тащо Терміни ковзного середнього виражаються як:
Без паніки! Чи можемо ми щось спростити?
Ви завжди можете спростити речі. Ми пам’ятаємо рівняння, які ми виділяли раніше:
Авторегресивна модель
Модель ковзного середнього
Отже, ми бачимо, що модель ARMA - це просто комбінація авторегресивної моделі та моделі ковзного середнього (позначена жовтим кольором).