Власні вектори - це вектори, помножені на власне значення в лінійних перетвореннях матриці. Власні значення - це константи, які множать власні вектори в лінійних перетвореннях матриці.
Іншими словами, власні вектори перекладають інформацію з вихідної матриці в множення значень і константу. Власні значення - це ця константа, яка множить власні вектори та бере участь у лінійному перетворенні вихідної матриці.
Хоча його назва в іспанській мові є дуже описовою, в англійській мові називаються власні вектори власні вектори і власні значення, власні значення.
Рекомендовані статті: типології матриць, зворотна матриця, визначник матриці.
Власні вектори
Власні вектори - це набори елементів, які, множачи будь-яку константу, еквівалентні множенню вихідної матриці та наборів елементів.
Математично власний векторV= (v1, …, Vп) квадратної матриціПитання - будь-який векторV що задовольняє наступний вираз для будь-якої константиh:
QV = hV
Власні цінності
Постійна h - власне значення, яке належить власному вектору V.
Власні значення - це дійсне коріння (коріння, що мають розв'язки дійсних чисел), яке ми знаходимо через характеристичне рівняння.
Характеристика власних значень
- Кожне власне значення має нескінченні власні вектори, оскільки існує нескінченне дійсне число, яке може бути частиною кожного власного вектора.
- Вони є скалярами, вони можуть бути комплексними числами (не дійсними) і можуть бути однаковими (більше одного рівного власного значення).
- Власних значень стільки, скільки рядків (м) або стовпці (п) має вихідну матрицю.
Вектори та власні значення
Існує лінійна залежність залежності між векторами та власними значеннями, оскільки власні значення множать власні вектори.
Математично
Якщо V - власний вектор матриціZ Y h - власне значення матриці Z, тодіhV є лінійною комбінацією між векторами та власними значеннями.
Характерна функція
Характерна функція використовується для знаходження власних значень матриціZ площа.
Математично
(Z - hl) V = 0
Де ZYh визначені вище таЯ - матриця ідентичності.
Умови
Щоб знайти вектори та власні значення матриці, це має бути виконано:
- Матриця Z квадрат: кількість рядків (м) така ж, як і кількість стовпців (п).
- Матриця Z справжній. Більшість матриць, що використовуються у фінансах, мають справжні корені. Яка перевага у використанні справжніх коренів? Ну, власні значення матриці ніколи не будуть складними числами, і це, друзі, багато вирішує наше життя.
- Матриця (Z- Привіт) не оборотний: визначник = 0. Ця умова допомагає нам завжди знаходити власні вектори, відмінні від нуля. Якби ми знайшли власні вектори, що дорівнюють 0, то множення між значеннями та власними векторами було б нульовим.
Практичний приклад
Ми вважаємо, що хочемо знайти вектори та власні значення aZ 2 × 2 розмірна матриця:
1. Підставляємо матрицю Z YЯ в характеристичному рівнянні:
2. Ми фіксуємо фактори:
3. Ми множимо елементи так, ніби шукаємо детермінанту матриці.
4. Рішення цього квадратного рівняння дорівнює h = 2 та h = 5. Два власні значення, оскільки кількість рядків або стовпців у матриці Z дорівнює 2. Отже, ми знайшли власні значення матриці Z які в свою чергу роблять визначник 0.
5. Щоб знайти власні вектори, нам доведеться вирішити:
6. Наприклад, (ст1, с2) = (1,1) для h = 2 та (v1, с2) = (- 1,2) для h = 5:
