Функціональні рівняння - це ті, що мають іншу функцію як невідому. Функція, яка може бути пов’язана з такою алгебраїчною операцією, як додавання, віднімання, ділення, множення, степінь або корінь.
Функціональні рівняння також можна визначити як такі, які нелегко звести до алгебраїчної функції типу f (x) = 0 для їх роздільної здатності.
Функціональні рівняння характеризуються тим, що не існує єдиного способу їх вирішення. Крім того, змінна, про яку йде мова, може приймати різні значення (ми побачимо це на прикладах).
Приклади функціональних рівнянь
Деякі приклади функціональних рівнянь:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ та2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
У таких випадках, як попередні, можна додати, наприклад, що x належить до множини дійсних чисел, тобто x ∈ R (нуль можна виключити).
Приклади функціональних рівнянь
Давайте подивимося кілька прикладів розв’язаних функціональних рівнянь:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Отже, якщо я заміню x на 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Тепер давайте побачимо ще один приклад з трохи більшими труднощами, але де ми будемо продовжувати аналогічним чином:
х2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
У цьому випадку ми спочатку вирішуємо для f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Тепер я замінюю x на 5-x у рівнянні 1:
(5-х)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Ми пам’ятаємо, що f (5-x) знаходиться у рівнянні 2:
(25-10x + x2) (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ х4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Функціональне рівняння Коші
Функціональна функція Коші є однією з найосновніших у своєму роді. Це рівняння має такий вигляд:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Припускаючи, що x і y знаходяться у множині раціональних чисел, розв'язок цього рівняння говорить нам, що f (x) = cx, де c - будь-яка константа, і те саме відбувається з f (y).