Серія Тейлора - це низка ступенів, що поширюється до нескінченності, де кожен із доданих піднімається до ступеня, більшого за попередній.
Кожному елементу ряду Тейлора відповідає n-та похідна функції f, яка обчислюється в точці a, між факторіалом n (n!), І все це, помножене на x-a, піднесене до рівня n.
У формальному або математичному плані ряд Тейлора має такий вигляд:
Щоб краще зрозуміти ряд Тейлора, ми повинні мати на увазі, що a - це точка на прямій, дотичній до функції f. В свою чергу, зазначена пряма може бути виражена як лінійна функція, нахил якої є таким самим нахилом, як функція f у точці a.
Ще один аспект, про який слід пам’ятати, полягає в тому, що f - диференційована функція n разів у точці a. Якщо n - нескінченність, це нескінченно диференційована функція.
У конкретному випадку, коли a = 0, ряд також називають серією Макларина.
Різниця між рядами та поліномами Тейлора
Різниця між рядами та поліномами Тейлора полягає в тому, що в першому випадку ми говоримо про нескінченну послідовність, тоді як у другому це кінцевий ряд.
Таким чином, поліном Тейлора можна визначити як поліноміальне наближення функції в n, диференційовану в певній точці (а).
Приклади серії Тейлора
Ось кілька прикладів варіацій серії Тейлора:
- Експоненціальна функція:
- Тригонометричні функції:
Застосування серії Тейлора
Деякі програми серії Тейлор:
- Аналіз меж.
- Аналіз нерухомих точок або точок крісла у функціях.
- Застосування в теоремі Л'Гопіталя (для вирішення меж).
- Інтегральна оцінка.
- Оцінка збіжностей та розбіжностей певних рядів.
- Аналіз фінансових активів та продуктів, коли ціна виражається як нелінійна функція.
