Серія Тейлора - що це таке, визначення та поняття

Серія Тейлора - це низка ступенів, що поширюється до нескінченності, де кожен із доданих піднімається до ступеня, більшого за попередній.

Кожному елементу ряду Тейлора відповідає n-та похідна функції f, яка обчислюється в точці a, між факторіалом n (n!), І все це, помножене на x-a, піднесене до рівня n.

У формальному або математичному плані ряд Тейлора має такий вигляд:

Щоб краще зрозуміти ряд Тейлора, ми повинні мати на увазі, що a - це точка на прямій, дотичній до функції f. В свою чергу, зазначена пряма може бути виражена як лінійна функція, нахил якої є таким самим нахилом, як функція f у точці a.

Ще один аспект, про який слід пам’ятати, полягає в тому, що f - диференційована функція n разів у точці a. Якщо n - нескінченність, це нескінченно диференційована функція.

У конкретному випадку, коли a = 0, ряд також називають серією Макларина.

Різниця між рядами та поліномами Тейлора

Різниця між рядами та поліномами Тейлора полягає в тому, що в першому випадку ми говоримо про нескінченну послідовність, тоді як у другому це кінцевий ряд.

Таким чином, поліном Тейлора можна визначити як поліноміальне наближення функції в n, диференційовану в певній точці (а).

Приклади серії Тейлора

Ось кілька прикладів варіацій серії Тейлора:

• Експоненціальна функція:

• Тригонометричні функції:

Застосування серії Тейлора

Деякі програми серії Тейлор:

• Аналіз меж.
• Аналіз нерухомих точок або точок крісла у функціях.
• Застосування в теоремі Л'Гопіталя (для вирішення меж).
• Інтегральна оцінка.
• Оцінка збіжностей та розбіжностей певних рядів.
• Аналіз фінансових активів та продуктів, коли ціна виражається як нелінійна функція.