Скалярний добуток двох векторів відповідно до його геометричного визначення - це множення їх модулів на косинус кута, утвореного обома векторами.
Іншими словами, точковий добуток двох векторів полягає у створенні добутку модулів обох векторів та косинуса кута.
Формула скалярного продукту
Враховуючи два вектори, точковий добуток обчислюється наступним чином:
Його називають скалярним добутком, оскільки результат роботи модуля завжди буде скалярним, так само, як і косинус кута. Результатом цього множення буде число, яке виражає величину і не має напрямку. Іншими словами, результатом крапкового добутку буде число, а не вектор. Тому ми будемо виражати отримане число як будь-яке число, а не як вектор.
Щоб знати величину кожного вектора, розраховується модуль. Отже, якщо помножити величину одного з векторів (v) на величину іншого вектора (а) на косинус кута, який утворюють обидва, ми дізнаємось, скільки в цілому вимірюють два вектори.
Модуль вектора (v), помножений на косинус кута, також відомий як проекція вектора v на вектор a.
Дивіться інший спосіб обчислення точкового добутку двох векторів
Процес
- Обчисліть модулі векторів.
Враховуючи будь-який вектор із трьох вимірів,
Формула для обчислення модуля вектора така:
Кожен нижній індекс вектора вказує розміри, у цьому випадку вектор (а) є тривимірним вектором, оскільки він має три координати.
2. Обчисліть косинус кута.
Приклад крапкового добутку двох векторів
Обчисліть скалярний добуток наступних тривимірних векторів, знаючи, що кут, який вони утворюють, дорівнює 45 градусам.
Для розрахунку скалярного добутку спочатку потрібно обчислити модуль векторів:
Після того, як ми розрахували модулі двох векторів і знаємо кут, нам потрібно лише помножити їх:
Отже, точковий добуток попередніх векторів дорівнює 1,7320 одиниць.
Графік
Наступні вектори виглядатимуть так, як у тривимірному графіку:
Для вектора (c) ми можемо бачити, що z-компонента дорівнює нулю, отже, вона буде паралельна осі абсцис. Натомість z-компонент вектора (b) позитивний, тому ми можемо бачити, як він схиляється вгору. Обидва вектори знаходяться в квадранті позитивів з точки зору компонента, оскільки він позитивний і однаковий.