Точка перегину математичної функції - це та точка, в якій графік, який її представляє, змінює свою увігнутість. Тобто вона переходить від увігнутості до опуклості або навпаки.
Іншими словами, точка перегину - це той момент, коли функція змінює тенденцію.
Щоб отримати ідею, давайте почнемо з того, що розглянемо її в графічному поданні, приблизно:
Слід зазначити, що функція може мати більше однієї точки перегину або взагалі не мати її. Наприклад, лінія не має точки перегину.
Давайте подивимося на наступному графіку приклад функції з більш ніж однією точкою перегину:
Крім того, в математичному відношенні, точка перегину обчислюється шляхом встановлення другої похідної функції, рівної нулю. Таким чином, ми вирішимо корінь (або коріння) цього рівняння і будемо називати його Xi.
Тоді ми замінимо Xi у третій похідній функції. Якщо результат відрізняється від нуля, ми стикаємось із точкою перегину.
Однак, якщо результат дорівнює нулю, ми повинні замінити послідовні похідні, поки значення цієї похідної, будь то третя, четверта чи п’ята, не буде відрізнятися від 0. Якщо похідна непарна, це точка перегину, якщо це навіть ні.
Приклад поворотного пункту
Далі розглянемо приклад.
Припустимо, ми маємо таку функцію:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Тоді ми замінимо Xi у третій похідній:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Оскільки результат відрізняється від нуля, ми опиняємось перед точкою перегину, яка була б, коли x дорівнює -1,25, а y дорівнює -2,1328, як показано на наступному графіку.
При цьому спостерігається, що функція має точку перегину:
Тепер давайте розглянемо ще один приклад:
y = x4-54x2
y ’= 4х3-108x
y »= 12x2-108=0
х2=9
Xi = 3 та -3
Потім ми замінимо два корені, знайдені у третій похідній:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Оскільки результат ненульовий, ми маємо дві точки перегину при (3,567) та (-3,567).
Щоб доповнити інформацію, ми запрошуємо вас відвідати статтю про флексію, де ми висвітлюємо це поняття більш загальним чином:
Визначення флексії
