Різницю між увігнутою та опуклою можна пояснити наступним чином → Термін опукла стосується того факту, що поверхня має внутрішню кривизну, тоді як якщо б вона була увігнутою, кривизна була б назовні.
Таким чином, ми можемо описати це по-іншому. Центральна частина опуклої поверхні є більш вдавленою або пригніченою. З іншого боку, якби вона була увігнутою, ця центральна частина виявляла б помітність.
Щоб це краще зрозуміти, ми можемо навести кілька прикладів. По-перше, класичний випадок сфери, поверхня якої опукла. Однак, якщо ми розріжемо його навпіл і збережемо нижню половину, у нас буде опуклий предмет із прогином (якщо припустити, що внутрішня частина сфери порожня).
Іншим прикладом увігнутості може бути гора, оскільки вона є відомим по відношенню до земної поверхні. Навпаки, свердловина є увігнутою, оскільки потрапляння в неї передбачає заглиблення, нижче рівня земної поверхні.
Слід також зазначити, що для визначення об’єкта як увігнутої або опуклої перспективи також слід брати до уваги. Так, суп, наприклад, коли він готовий до подачі, є опуклим, він має провисання. Однак якщо ми його перевернемо, плита буде увігнутою.
Наприклад, якщо ми проаналізуємо параболи, вони опуклі, якщо мають U-подібну форму, але увігнуті, якщо мають перевернуту U-подібну форму.
Увігнуті та опуклі функції
Якщо друга похідна функції менша за нуль у точці, тоді в цій точці функція є увігнутою. З іншого боку, якщо вона більша за нуль, вона опукла в цій точці. Вищесказане можна виразити наступним чином:
Якщо f »(x) <0, f (x), вона увігнута.
Якщо f »(x)> 0, f (x) вона опукла.
Наприклад, у рівнянні f (x) = x2+ 5x-6, ми можемо обчислити його першу похідну:
f '(x) = 2x + 5
Тоді знаходимо другу похідну:
f »(x) = 2
Отже, оскільки f »(x) більше 0, функція опукла для кожного значення x, як ми бачимо на графіку нижче:
Тепер давайте розглянемо випадок з цією іншою функцією: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Отже, оскільки друга похідна менше 0, функція є увігнутою для кожного значення x.
Але тепер давайте розглянемо таке рівняння: -5 х3+ 7x2+5 х-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Встановимо другу похідну рівною нулю:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Отже, коли x більше 0,4667, f »(x) більше нуля, тож функція опукла. Якщо якщо x менше 0,4667, функція є увігнутою, як ми бачимо на графіку нижче:
Опуклий і увігнутий багатокутник
Опуклий многокутник - це той, де можна поєднати дві його точки, провівши пряму лінію, яка залишається в межах фігури. Так само його внутрішні кути менше за 180º.
З іншого боку, увігнутий багатокутник - це той, де для з’єднання двох його точок повинна бути проведена пряма лінія, яка знаходиться за межами фігури, це зовнішня діагональ, яка з’єднує дві вершини. Крім того, принаймні один з його внутрішніх кутів перевищує 180º.
Порівняння ми бачимо на зображенні нижче:
