Коваріація - що це таке, визначення та поняття

Коваріація - це величина, яка відображає, наскільки дві випадкові величини спільно змінюються щодо їхніх значень.

Це дозволяє нам знати, як поводиться змінна на основі того, що робить інша змінна. Тобто, коли X піднімається, як поводиться Y? Таким чином, коваріація може приймати наступні значення:

Коваріація (X, Y) менше нуля, коли “X” зростає, а “Y” падає. Існує негативний зв’язок.

Коваріація (X, Y) перевищує нуль, коли "X" зростає, а "Y" зростає. Є позитивні стосунки.

Коваріація (X, Y) дорівнює нулю, коли немає взаємозв'язку між змінними "X" і "Y".

Розрахунок коваріації

Формула коваріації виражається таким чином:

Де y з наголосом є середнім значенням змінної Y, а x з наголосом є середнім значенням змінної X. "i" - положення спостереження, а "n" загальна кількість спостережень.

В іншому випадку, коли абсолютні частоти не є унітарними (тобто пари i, j повторюються принаймні один раз), застосовується така формула:

Властивості коваріації

При роботі з ним слід враховувати властивості, які він має і які виводяться з визначення коваріації:

• Cov (X, b) = 0, де b у цьому випадку є константою.
• Cov (X, X) = Var (X), тобто коваріація змінної і сама по собі дорівнює дисперсії змінної.
• Cov (X, Y) = Cov (Y, X) коваріація однакова, незалежно від того, в якому порядку ми їх розміщуємо.
• Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y), де b і c - дві константи. Коваріація двох змінних, помножена на будь-які дві константи, дорівнює коваріації двох змінних, помноженої на множення констант.
• Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) додавання будь-яких двох констант до кожної змінної не впливає на коваріацію.
• Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) або те саме, коваріація дорівнює очікуванню добутку двох змінних мінус добутку двох очікувань окремо.

Розширюючи попередні властивості, у випадку, якщо дві змінні незалежні. Тобто вони не мають ніяких статистичних відносин, це правда, що:

E (X · Y) = E (X) · E (Y)

Іншими словами, очікування добутку двох змінних дорівнює добутку двох окремих очікувань зазначених змінних.

Приклад коваріації

Припустимо, ми маємо такі дані для X та Y.

Як ми інтерпретуємо цей результат?

Це 4 говорить нам, перевищуючи нуль, що ці дві змінні мають позитивний зв’язок. Щоб знати скоригований зв’язок між двома змінними, нам слід обчислити лінійну кореляцію. Дві коваріації різних змінних не можна порівняти, оскільки значення коваріації є абсолютним значенням, яке залежить від одиниці виміру змінних.