Нормальний розподіл - це теоретична модель, здатна задовільно наблизити значення випадкової величини до ідеальної ситуації.
Іншими словами, нормальний розподіл відповідає випадковій величині функції, яка залежить від середнього та стандартного відхилення. Тобто функція та випадкова величина матимуть однакове подання, але з невеликими різницями.
Неперервна випадкова величина може приймати будь-яке дійсне число. Наприклад, повернення запасів, результати випробувань, IQ та стандартні помилки - це безперервні випадкові величини.
Дискретна випадкова величина приймає натуральні значення. Наприклад, кількість студентів університету.
Нормальний розподіл є основою для інших розподілів, таких як розподіл t Стьюдента, розподіл хі-квадрат, розподіл F Фішера та інші розподіли.
Формула нормального розподілу
Враховуючи випадкову величину X, ми говоримо, що частоту її спостережень можна задовільно наблизити до нормального розподілу таким чином, що:
Де параметрами розподілу є середнє або центральне значення та стандартне відхилення:
Іншими словами, ми говоримо, що частоту випадкової величини X можна представити нормальним розподілом.
Представництво
Функція щільності ймовірності випадкової величини, яка слідує за нормальним розподілом.
Властивості
- Це симетричний розподіл. Значення середнього, медіани та моди збігаються. Математично,
Середнє = медіана = режим
- Одномодальний розподіл. Значення, які частіше або частіше з’являються, є середніми. Іншими словами, коли ми відходимо від середнього, ймовірність появи величин і їх частота зменшується.
Що нам потрібно для нормального розподілу?
- Випадкова величина.
- Обчисліть середнє значення.
- Обчисліть середньоквадратичне відхилення.
- Визначте функцію, яку ми хочемо представляти: функцію щільності ймовірності або функцію розподілу.
Теоретичний приклад
Ми припускаємо, що хочемо знати, чи можуть результати тесту задовільно наблизити нормальний розподіл.
Ми знаємо, що 476 студентів беруть участь у цьому тесті, і що результати можуть коливатися від 0 до 10. Ми обчислюємо середнє та стандартне відхилення від спостережень (результати тесту).
Отже, ми визначаємо випадкову величину X як результати тесту, які залежать від кожного окремого результату. Математично,
Оцінка кожного студента записується в таблицю. Таким чином, ми отримаємо глобальне бачення результатів та їх частоти.
| Результати | Частота |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| ВСЬОГО | 476 |
Після складання таблиці ми представляємо результати обстеження та частоти. Якщо графік виглядає як попереднє зображення і відповідає властивостям, тоді змінну результатів тесту можна задовільно наблизити до нормального розподілу середнього значення 4,8 та стандартного відхилення 3,09.
Чи можуть результати тесту наблизити нормальний розподіл?
Причини вважати, що змінна результатів тесту відповідає нормальному розподілу:
- Симетричний розподіл. Тобто є однакова кількість спостережень як праворуч, так і ліворуч від центрального значення. Крім того, що середнє, медіана та мода мають однакові значення.
Середнє = медіана = режим = 5
- Спостереження з найбільшою частотою або ймовірністю знаходяться навколо центрального значення. Іншими словами, спостереження з меншою частотою або ймовірністю далекі від центрального значення.
Нормальний розподіл описує випадкову величину наближенням, яке створює стандартні помилки (стовпчики над кожним стовпцем). Ці помилки є різницею між фактичними спостереженнями (результатами) та функцією щільності (нормальним розподілом).
