Центром ваги трикутника є точка перетину медіан фігури. Він також відомий як центроїд.
Слід пам’ятати, що медіаною є відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою його протилежної сторони. Таким чином, кожен трикутник має три медіани.
Наприклад, у верхньому трикутнику центром ваги є точка O, а медіанами є сегменти AF, BD та CE.
Важливою властивістю центру ваги є те, що його відстань від кожної вершини вдвічі більше відстані від протилежної сторони.
Для кращого пояснення можна виділити дві частини в кожній медіані:
- Відстань від вершини до центру ваги, яка становить 2/3 довжини медіани
- Решта 1/3, що становить відстань від центру ваги до середини протилежної сторони.
Наприклад, на зображенні вище, це правда, що:
Як знайти центр ваги трикутника
Щоб знайти центр ваги трикутника, слід врахувати, що, знаючи координати трьох вершин трикутника, координати центру ваги відповідають його середньому арифметичному. Отже, припустимо, що вершини:
Тоді координати центру ваги, який ми будемо називати O, будуть:
Тепер також можна знайти центр ваги, якщо ми маємо рівняння прямих, які містять принаймні дві медіани.
Нагадаємо, що в аналітичній геометрії лінія може бути виражена як алгебраїчне рівняння першого порядку як:
y = xm + b
У наведеному рівнянні y - координата на осі ординат (вертикальна), x - координата на осі абсцис (горизонтальна), m - нахил (нахил), який утворює лінію відносно осі абсцис, b - точка, де пряма перетинає вісь ординат.
Щоб краще зрозуміти вищесказане, давайте розглянемо приклад.
Приклад центру ваги
Припустимо, у нас є трикутник, про який ми знаємо дві його вершини:
A (0,4) і B (-2,1)
Тепер далі відомо, що середина сторони, протилежної вершині A, дорівнює (3,1), а середина сторони, протилежної вершині B, є (4, 2,5). Варто уточнити, що ми використовуємо крапку з комою, щоб не плутати з комою, що розділяє десяткові крапки.
Спочатку ми знайдемо рівняння прямої, яка містить медіану, яка починається з вершини А, враховуючи, що нахил при переході з однієї точки в іншу завжди повинен бути однаковим. Нахил - це зміна вертикальної осі між варіацією горизонтальної осі:
Те, що ми зробили, це припустити, що пряма проходить через точку (x1, y1), яка є вершиною A (0, 4), і через точку (x2, y2), яка є серединою її протилежної сторони (3, 1).
Потім ми робимо те ж саме з вершиною B (-2,1) та серединою її протилежної сторони (-4, -2,5):
Наступним кроком ми вирівнюємо праву частину двох рівнянь, знайдених для вирішення значення на осі X, коли обидва збігаються:
Тоді ми вирішуємо в будь-якому з рівнянь, щоб знайти значення y:
Отже, центром ваги трикутника є точка (2,2) в декартовій площині.
