Поліном Тейлора - це поліноміальне наближення функціїп разів, що випливають у певній точці
Іншими словами, поліном Тейлора - це скінченна сума місцевих похідних, обчислених у конкретній точці.
Математично
Визначаємо:
f (x): функція х.
f (x0): функціяхв конкретній точці x0. Формально написано:
F(n)(х):п-та похідна від функції f (x).
Програми
Розширення Тейлора зазвичай застосовується до фінансових активів та продуктів, ціна яких виражається як нелінійна функція. Наприклад, ціна короткострокового боргового папера - це нелінійна функція, яка залежить від процентних ставок. Іншим прикладом можуть бути варіанти, де як фактори ризику, так і прибутковість є нелінійними функціями. Розрахунок тривалості зв'язку - це поліном Тейлора першого ступеня.
Приклад полінома Тейлора
Ми хочемо знайти другий порядок наближення Тейлора функції f (x) у точці x0=1.
1. Складемо відповідні похідні функції f (x).
У цьому випадку вони просять нас до другого порядку, тому ми зробимо першу та другу похідні функції f (x):
- Перша похідна:
- Друга похідна:
2. Підставляємо х0= 1 у f (x), f '(x) та f' '(x):
3. Отримавши значення похідних у точці х0= 1, підставляємо його в наближення Тейлора:
Ми трохи зафіксували поліном:
Перевірка значень
Наближення Тейлора буде адекватним, чим ближче до x0 бути значеннями. Щоб перевірити це, ми підставляємо значення, близькі до x0 як у вихідній функції, так і в наближенні Тейлора вище:
Коли х0=1
Оригінальна функція:
Наближення Тейлора:
Коли х0=1,05
Оригінальна функція:
Наближення Тейлора:
Коли х0=1,10
Оригінальна функція:
Наближення Тейлора:
У першому випадку, коли x0= 1, ми бачимо, що і вихідна функція, і наближення Тейлора дають нам однаковий результат. Це пов’язано зі складом полінома Тейлора, який ми створили за допомогою місцевих похідних. Ці похідні були оцінені в певний момент, x0= 1, щоб отримати значення і створити поліном. Отже, чим далі від цієї конкретної точки, х0= 1, менш наближеним буде наближення для вихідної нелінійної функції. У випадках, коли x0= 1,05 і х0= 1,10 існує суттєва різниця між результатом вихідної функції та наближенням Тейлора.
Але … різниця дуже мала, чи не так?
Поліноміальне подання Тейлора
Якщо продовжити крайнощі (де наближення відходить від x0=1):
На перший погляд це може здатися незначним, але коли ми працюємо над графіком та робимо наближення, дуже важливо врахувати принаймні перші чотири знаки після коми. Основою наближень є точність.