Лінійне перетворення матриць - це лінійні операції через матриці, які модифікують початкову розмірність даного вектора.
Іншими словами, ми можемо змінити розмірність вектора, помноживши його на будь-яку матрицю.
Лінійні перетворення є основою векторів і власних значень матриці, оскільки вони лінійно залежать один від одного.
Рекомендовані статті: операції з матрицями, векторами та власними значеннями.
Математично
Визначимо матрицюC. будь-якої розмірності 3 × 2, помноженої на вектор V розмірностіn = 2 такий, що V = (v1, с2).
Яким виміром буде вектор результату?
Вектор, що є результатом добутку матриціC.3×2з векторомV2×1буде новим V 'вектором розмірності 3.
Ця зміна розмірності вектора зумовлена лінійним перетворенням через матрицю C..
Практичний приклад
Дано квадратну матрицюР. з розмірністю 2 × 2 і векторомV розмірності 2.
Лінійне перетворення розмірності вектораV Це є:
де початкова розмірність вектора V становила 2 × 1 і тепер остаточний розмір вектора Розумієш3 × 1. Ця зміна розмірності досягається множенням матриці Р..
Чи можна ці лінійні перетворення зобразити графічно? Ну звичайно!
Ми представимо вектор результату V 'на площині.
Тоді:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Графічно
Власні вектори з використанням графічного подання
Як ми можемо визначити, що вектор є власним вектором даної матриці, просто подивившись на графік?
Визначимо матрицюD розмірності 2 × 2:
Чи є вектори v1= (1,0) і v2= (2,4) власних векторів матриці D?
Процес
1. Почнемо з першого вектора v1. Ми робимо попереднє лінійне перетворення:
Отже, якщо вектор v1 є власним вектором матриці D, результуючого вектора v1'І вектор v1вони повинні належати одному рядку.
Ми представляємо v1 = (1,0) і v1’ = (3,0).
Оскільки обидва v1як V1’Належить до того самого рядка, с1 є власним вектором матриці D.
Математично існує константаh(власне значення) такий, що:
2. Продовжуємо з другим вектором v2. Повторюємо попереднє лінійне перетворення:
Отже, якщо вектор v2 є власним вектором матриці D, результуючого вектора v2'І вектор v2 вони повинні належати одному рядку (як графік вище).
Ми представляємо v2 = (2,4) і v2’ = (2,24).
Оскільки v2 і V2’Не належать до одного рядка, с2 не є власним вектором матриці D.
Математично константи немаєh(власне значення) такий, що:
