Лінійне перетворення матриць

Лінійне перетворення матриць - це лінійні операції через матриці, які модифікують початкову розмірність даного вектора.

Іншими словами, ми можемо змінити розмірність вектора, помноживши його на будь-яку матрицю.

Лінійні перетворення є основою векторів і власних значень матриці, оскільки вони лінійно залежать один від одного.

Рекомендовані статті: операції з матрицями, векторами та власними значеннями.

Математично

Визначимо матрицюC. будь-якої розмірності 3 × 2, помноженої на вектор V розмірностіn = 2 такий, що V = (v₁, с₂).

Яким виміром буде вектор результату?

Вектор, що є результатом добутку матриціC._3×2з векторомV_2×1буде новим V 'вектором розмірності 3.

Ця зміна розмірності вектора зумовлена ​​лінійним перетворенням через матрицю C..

Практичний приклад

Дано квадратну матрицюР. з розмірністю 2 × 2 і векторомV розмірності 2.

Лінійне перетворення розмірності вектораV Це є:

де початкова розмірність вектора V становила 2 × 1 і тепер остаточний розмір вектора Розумієш3 × 1. Ця зміна розмірності досягається множенням матриці Р..

Чи можна ці лінійні перетворення зобразити графічно? Ну звичайно!

Ми представимо вектор результату V 'на площині.

Тоді:

V = (2,1)

V ’= (6,4)

Графічно

Власні вектори з використанням графічного подання

Як ми можемо визначити, що вектор є власним вектором даної матриці, просто подивившись на графік?

Визначимо матрицюD розмірності 2 × 2:

Чи є вектори v₁= (1,0) і v₂= (2,4) власних векторів матриці D?

Процес

1. Почнемо з першого вектора v₁. Ми робимо попереднє лінійне перетворення:

Отже, якщо вектор v₁ є власним вектором матриці D, результуючого вектора v₁'І вектор v₁вони повинні належати одному рядку.

Ми представляємо v₁ = (1,0) і v₁’ = (3,0).

Оскільки обидва v₁як V₁’Належить до того самого рядка, с₁ є власним вектором матриці D.

Математично існує константаh(власне значення) такий, що:

2. Продовжуємо з другим вектором v₂. Повторюємо попереднє лінійне перетворення:

Отже, якщо вектор v₂ є власним вектором матриці D, результуючого вектора v₂'І вектор v₂ вони повинні належати одному рядку (як графік вище).

Ми представляємо v₂ = (2,4) і v₂’ = (2,24).

Оскільки v₂ і V₂’Не належать до одного рядка, с₂ не є власним вектором матриці D.

Математично константи немаєh(власне значення) такий, що: