Множення матриць - що це таке, визначення та поняття

Множення матриць складається з лінійного об'єднання двох або більше матриць шляхом додавання їх елементів залежно від їх розташування в матриці початку, дотримуючись порядку факторів.

Іншими словами, множення двох матриць полягає у об’єднанні матриць в одній матриці шляхом множення та додавання елементів рядків і стовпців вихідних матриць, беручи до уваги порядок факторів.

Рекомендовані статті: операції з матрицями, квадратна матриця.

Множення матриць

Дано дві матриці Z Y Y з n рядків і m стовпців:

Властивості

• Розмірність матриці результатів - це поєднання розмірності матриць. Іншими словами, розмірністю матриці результатів будуть стовпці першої матриці та рядки другої матриці.

У цьому випадку ми це знайдемо Z_п (рядки Z) дорівнює Y_м(стовпці Y), щоб мати можливість їх множити. Отже, якщо вони рівні, матриця результату буде такою:

Приклади

• Помножимо матриці два на два.

Ми множимо матриці два на два, щоб зберегти розміри вихідних матриць та полегшити процес.

• Множення матриць не є комутативним.

Схема комутативних властивостей

Комутативна властивість являє собою добре відому фразу: порядок факторів не змінює результат.

Ми знаходимо цю властивість у звичайному додаванні та множенні, тобто коли додаємо та множимо будь-який об'єкт, який не є матрицею.

З огляду на наведену вище схему, комутативна властивість говорить нам, що якщо спочатку помножити синє сонце, а потім жовте сонце, ми отримаємо той самий результат (зелене сонце), як ніби помножимо спочатку жовте, а потім синє сонце.

Отже, якщо множення матриць не поважає комутативну властивість, це означає, що порядок факторів Так впливає на результат. Іншими словами, ми не отримаємо зеленого сонця, якщо змінимо порядок жовтого та синього сонечок.

Процес

Ми можемо помножити попередні матриці, якщо кількість рядків у матриці Z дорівнює кількості стовпців у матриці Y. А саме Z_п = Y_м.

Після того, як буде визначено, що ми можемо множити матриці, ми множимо елементи кожного рядка на кожен стовпець і додаємо їх таким чином, щоб залишилося лише одне число в точці, де попередні сині овали збігаються.

Спочатку ми знаходимо, де збігаються сині овали, а потім робимо суму множення елементів.

• Для першого елемента матриці результатів ми бачимо, що овали збігаються там, де знаходиться елемент z₁₁.

• Для останнього елемента матриці результатів ми бачимо, що овали збігаються в елементі і_нм.

Теоретичний приклад

Дано дві квадратні матриці D Y І,

Помножте попередні матриці.

Почнемо з множення першого рядка матриці D з першим стовпцем матриці І. Потім ми робимо те саме, але зберігаємо рядок або стовпець кожної матриці залежно від того, чи хочемо ми помножити деякі елементи чи інші. Повторюємо процедуру, поки не заповнимо всі прогалини.

Вправа

Доведіть, що комутативна властивість не виконується у добутку матриць.