Квадратична форма матриці - це добуток множення вектора порядку n з будь-якою квадратною матрицею на вектор порядку n, транспонованого.
Іншими словами, квадратична форма матриці - це лінійна комбінація квадратної матриці, вектора порядку n та транспонування цього вектора.
Рекомендована стаття: операції з матрицями.
Формула квадратичної форми матриці
Дано квадратну матрицю Z порядку n та вектора h n розмірностей, ми можемо записати вираз, званий квадратичною формою виду:
Результатом квадратної форми завжди буде скаляр, тобто одне число, а не матриця.
Програми
Квадратична форма матриці використовується для знаходження ступеня позитивності та негативності визначених матриць. Залежно від значень вектора h, значення квадратної форми буде дорівнювати нулю (0), позитивним чи негативним.
Отримавши квадратну форму, ми можемо сказати, що ми "визначили" матрицю. Отже, можна говорити про певну матрицю. Ця матриця може бути позитивно визначеною, позитивною напіввизначеною, негативно визначеною та негативною напіввизначеною.
Практичний приклад
Знаходження квадратної форми квадратної матриці Z заданий вектор h:
Процес
Спочатку транспонуємо вектор h.
Тоді застосовуємо формулу квадратної форми.
Як ми вже говорили раніше, результатом квадратної форми завжди буде одне число. У цьому випадку це строго позитивне число.
Але … Як може бути, що результатом є конкретне число, а не матриця, якщо ми множимо матриці?
Зменшення розмірності матриці від множення відбувається, оскільки ми множимо матриці, що мають однакову кількість стовпців і рядків.
Демонстрація:
З матричного добутку Z а від транспонованого вектора h залишається вектор розмірності 3 × 1. Таким же чином добуток вектора результату та вектора h залишається матрицею розмірності 1 × 1. Матриця розмірності 1 × 1 є скаляром.
Отже, якщо ми обчислимо квадратну форму матриці і отримаємо матрицю з розмірністю більше 1 × 1 (ми отримаємо інший результат, відмінний від конкретного числа), це буде означати, що ми допустили помилку на якомусь етапі і що результат неправильний.