Експоненціальна функція є основою безперервного складання, що є результатом нескінченного збільшення (коли р має тенденцію до нескінченності) частоти обчислення відсотків у складеному складі.
Іншими словами, експоненціальна функція є складеною сумішшю, де періоди часу між розрахунками відсотків нескінченно малі (дуже малі).
Формула експоненціальної функції:
Безперервна рецептура може бути виражена як
Розумна схожість між безперервним використанням великих літер та експоненціальною функцією, так?
Визначимо змінні безперервної капіталізації:
- C.t + 1: капітал у момент часу t + 1 (пізніше).
- C.т: капітал у момент часу t (поточний).
- iт: процентна ставка в момент часу t.
- p: частота складання або періодичність.
- t: час.
Програми
У фінансах ми часто знаходимо експоненціальну функцію у формулі постійної капіталізації майбутнього доходу та в деяких економетричних регресіях.
В економічній науці це не так популярно, оскільки більшість мікроекономічних та макроекономічних моделей передбачають зменшення граничної віддачі від своїх факторів виробництва. Отже, вони припускають, що фактори слідують за логарифмічною віддачею і, отже, повертається всупереч експоненціальній функції.
Приклад експоненціальної функції
Ми припускаємо, що ми американський інвестор, який хоче побудувати гірськолижну трасу в Піко-Боліварі, Венесуела. Початкові інвестиції складають 100 млн. Доларів США при річній процентній ставці 100%. Цей інвестор має достатню переговорну силу для визначення періодичності розрахунку відсотків за його інвестиції.
Якій альтернативі віддасть перевагу американський інвестор?
Щоб відповісти на питання, нам доведеться розрахувати капітал вчасно t + 1 (Ct + 1), що отримає інвестор.
Інформація доступна:
C.т: 100 мільйонів доларів
iт: 100%
t: 1 (річна)
C.t + 1: ?
| Альтернатива | ДО | B | C. | D | І | F |
| Періодичність | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Ми підставляємо інформацію, яку маємо, у дві формули (функція exp. Та безперервне використання великих літер)
Ми обробляємо дані, уникаючи ММ.
Ділимо (Сt + 1) на 100 в експоненціальній функції для усунення ефекту капіталу. Таким чином, ми переносимо кому на два місця вперед. Отже, цей ефект видно у наступних стовпцях результатів.
Результати:
| Формула | Безперервна рецептура | Експоненціальна функція |
| Періодичність (p) або (n) | C.t + 1 | C.t + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Коли n або p мають тенденцію до нескінченності, в даному випадку від 10 000 000, ми можемо бачити, що значення сходяться на конкретне число. Для безперервного складання він становить 271,8281, а для експоненціальної функції - 2,718281. Дві серії сходяться далі і.
Відповідь на вправу вирішено
Отже, яку альтернативу в кінцевому підсумку вибере американський інвестор, якщо з ряду періодичностей капітал при t + 1 (Ct + 1) стійла за певною вартістю?
- Якщо цей інвестор розглядає капітал як дискретну змінну, то він вибере альтернативу D. Оскільки з альтернативи С капітал при t + 1 (Сt + 1) сходиться до $ 271 млн.
- Якщо цей інвестор розглядає капітал як постійну змінну, то він вибере альтернативу з більшою періодичністю. У цьому випадку альтернатива F. Навіть якщо це закінчується зближенням вартості, інвестор враховує всі десяткові дроби.
Ця конвергенція означає, що капітал при t + 1 (Ct + 1), обчислений за допомогою формули безперервного складання або експоненціальної функції, слідує за зменшенням граничної віддачі. Іншими словами, (Сt + 1) може бути виражена як логарифмічна функція.
Схематично:
- Періодичність = експоненціальна функція.
- Капітал до t + 1 (Ct + 1) = логарифмічна функція.
Графічне зображення
На графіку видно, як експоненціальна функція, яка є нескінченно неперервною, зростає набагато швидше, ніж обмежена безперервна капіталізація. Коли ми говоримо про безперервну капіталізацію, ми маємо на увазі різновид складної капіталізації, але з більшою періодичністю, оскільки на практиці неможливо капіталізувати інтереси нескінченно. Я маю на увазі, ми не можемо використовувати кожну секунду.