Парадокс у Санкт-Петербурзі - парадокс, який спостерігав Ніколаус Бернуллі, і тому його причина полягає в азартних іграх. Цей парадокс говорить нам про те, що в теорії прийняття рішень допускаються всі ставки, незалежно від їх вартості, навіть якщо вказане значення показує нам, що це не раціональне рішення.
Для того, щоб ми його правильно зрозуміли, петербурзький парадокс був описаний Ніколаусом Бернуллі після спостереження за азартними іграми, саме тому цей парадокс існує.
Теорія ігорУ цьому сенсі парадокс говорить нам, що теорія сформульованих рішень показує нам, що раціональне рішення в грі на парі - це все, незалежно від суми, яку передбачає кожна ставка. Однак, правильно проаналізувавши цю ситуацію, і точно враховуючи теорію, ми спостерігаємо, що жодна раціональна істота не вирішить приймати рішення, щоб зробити ставку на суму, близьку до нескінченності, хоча теорія вказує на її раціональність. З цієї причини виникає парадокс.
Спочатку парадокс спостерігається Ніколаєм Бернуллі, як це випливає з листа, надісланого ним П'єру де Монморту, французькому аристократу та математику, 9 вересня 1713 року.
Однак, оскільки дослідження Ніколауса не дало результатів, він представив парадокс своєму двоюрідному братові Даніелю Бернуллі в 1715 році, математику голландського походження та ректору Базельського університету, який, зустрічаючись у Санкт-Петербурзі з видатною групою вчених, і після років досліджень, опублікував у 1738 р. нову систему вимірювання у своїй роботі «Виклад нової теорії у вимірі ризику».
Модель, запропонована Даніелем, на відміну від запропонованої Ніколаусом, закладає основи того, що згодом вдосконалить і завершить теорію очікуваної корисності.
Формула парадоксу Санкт-Петербурга
Формулювання, запропоноване Ніколаусом Бернуллі своєму двоюрідному братові та П'єру де Монморту, є таким:
Уявімо собі азартну гру, в якій гравець, очевидно, повинен заплатити суму за участь.
Припустимо, гравець робить ставку на хвости і послідовно кидає монету до кінця. Після хвостів гра припиняється, і гравець отримує $ 2 n.
Таким чином, якщо хвости, гравець спочатку виграє 2 1, що становить $ 2. Але якщо хвости знову, то отримаємо 2 2, що становить 4 долари, і так далі. Якщо він вийде знову, це буде 8 доларів, що еквівалентно 2 3; тоді як, якщо він вийде в четвертий раз, виграш складе 16 доларів, тобто подання 2 4.
Отже, запитання Ніколауса було наступним: беручи до уваги вищезазначену послідовність та прибуток, скільки би гравець був готовий заплатити за цю гру, не втрачаючи раціональності?
Приклад петербурзького парадоксу
Беручи до уваги формулювання, запропоноване Ніколаусом, і сумнів у тому, що він поставив перед французьким математиком та його двоюрідним братом, давайте побачимо причину цього парадоксу, на прикладі, щоб зрозуміти, що ми маємо на увазі.
Перш за все, ми повинні знати, що перед початком гри ми маємо нескінченну кількість можливих результатів. Ну, навіть якщо ймовірність дорівнює 1/2, хвости можуть не вийти до 8-го рулону.
Отже, ймовірність того, що цей хрест з’явиться на жеребкуванні k:
Pk = 1 / 2k
Також прибуток становить 2 тис.
Продовжуючи розробку, перші хвости на першому рулоні представляють виграш у 21 ($ 2) і ймовірністю 1/2. Хвости з 2-ї спроби мають виграш 22 (4 долари) та ймовірністю 1/22; тоді як, якщо хвости з третьої спроби, гравець має перемогу 23 ($ 8) і ймовірність 1/23. Як бачимо, відносини, що розширюються, поки ми додаємо прогони.
Перш ніж продовжувати, слід зазначити, що в теорії рішень ми називаємо математичне очікування (ЕМ) або очікуваний виграш у грі, суму призів, пов’язану з кожним із можливих результатів гри, і всі вони зважуються за ймовірність того, що кожен із цих результатів відбудеться.
Якщо взяти до уваги підхід, який демонструє цей парадокс, ми бачимо, що при грі ймовірність виграти 2 долари дорівнює 1/2, але, крім того, ймовірність виграти 4 дорівнює 1/4, тоді як виграти 8 доларів - це 1/8. Це, до досягнення таких ситуацій, як виграш 64 доларів, імовірність для цього випадку дорівнює 1/64.
Отже, до цих результатів, якщо ми обчислюємо математичне сподівання або те, що ми знаємо як очікуваний виграш у грі, ми повинні додати виграш усіх можливих результатів, зважених на ймовірність їх виникнення, тож результат показує нам нескінченне значення.
Якщо ми дотримуємось теорії вибору, це говорить нам, що нам слід робити будь-яку суму за той простий факт, що кожне рішення є сприятливим для нас. Зараз той факт, що це парадокс, полягає в тому, що, раціонально, гравець не буде робити ставки безкінечно, навіть якщо теорія штовхає його на це.
Видатний парадокс
Багато математиків намагалися розшифрувати парадокс, запропонований Бернуллі, проте є багато і тих, хто не зміг його розгадати.
Отже, є безліч прикладів, які показують нам, як парадокс намагався розв’язати математик, який розглядав як структуру гри, так і рішення самих людей. Однак на сьогоднішній день ми все ще не можемо знайти дійсного рішення.
І саме для того, щоб отримати уявлення про складність цього парадоксу, беручи до уваги теорію вибору в цьому прикладі, ми вважаємо можливим виграшем після розрахунку нескінченну кількість монет, які навіть припускаючи, що це можливо, це було б несумісним із самою грошовою системою, оскільки це гроші, які всупереч тому, що говорить парадокс, обмежені.
