Правило Лапласа - що це таке, визначення та поняття

Правило Лапласа - це метод, який дозволяє швидко обчислити визначник квадратної матриці із розмірами 3 × 3 або більше за допомогою рекурсивного ряду розширення.

Іншими словами, правило Лапласа розкладає початкову матрицю на матриці нижчих розмірів і коригує її знак на основі положення елемента в матриці.

Цей метод можна виконати за допомогою рядків або стовпців.

Рекомендовані статті: матриці, типології матриць та детермінанта матриці.

Формула правила Лапласа

Дано матрицю Z_mxn будь-який вимір mxn,де m = n, вона розширюється відносно i-го рядка, тоді:

• D_ijє визначником, отриманим шляхом виключення i-го рядка та i-го стовпця Z_mxn.

• М_ijє i, j-м менше. Визначник D_ijу функції М_ijназивається i, j-м кофакторматриці Z_mxn.
• до - це встановлення знака позиції.

Теоретичний приклад правила Лапласа

Визначаємо ДО_3×3 Що:

1. Почнемо з першого елемента a₁₁. Ми натираємо рядки та стовпці, з яких складається₁₁. Елементи, які залишаються без решітки, будуть першим визначальним фактором менше помножене на a₁₁.

2. Продовжуємо з другим елементом першого ряду, тобто до₁₂. Повторюємо процес: натерти рядки та стовпці, що містять₁₂.

Коригуємо знак неповнолітнього:

Додамо другий визначник меншедо попереднього результату, і ми утворюємо ряд розширень, такий що:

3. Продовжуємо з третім елементом першого ряду, тобто до₁₃. Повторюємо процес: натрімо рядок і стовпець, що містять₁₃.

Додаємо третій визначник менше до попереднього результату, і ми розширюємо ряд розширень таким чином, що:

Оскільки в першому рядку більше не залишилося елементів, тоді ми закриваємо рекурсивний процес. Обчислюємо визначники неповнолітні.

Так само, як використовувались елементи з першого рядка, цей метод також можна застосувати до стовпців.

Практичний приклад правила Лапласа

Визначаємо ДО_3×3Що:

1. Почнемо з першого елемента r₁₁= 5. Ми натираємо рядки та стовпці, з яких складається₁₁= 5. Елементи, які залишаються без решітки, будуть першим визначальним фактором менше помножене на a₁₁=5.

2. Продовжуємо з другим елементом першого ряду, тобто r₁₂= 2. Повторюємо процес: натерти рядки та стовпці, що містять r₁₂=2.

Коригуємо знак неповнолітнього:

Додамо другий визначник менше до попереднього результату, і ми утворюємо ряд розширень, такий що:

3. Продовжуємо з третім елементом першого ряду, тобто r₁₃= 3. Повторюємо процес: натерти рядок і стовпець, що містять r₁₃=3.

Додаємо третій визначник менше до попереднього результату, і ми розширюємо ряд розширень таким чином, що:

Визначник матриціР._3×3 становить 15.