Інверсна матриця - це лінійне перетворення матриці шляхом множення оберненого до визначника матриці на приєднану транспоновану матрицю.
Іншими словами, зворотна матриця - це множення оберненого детермінанта на транспоновану суміжну матрицю.
Рекомендовані статті: визначник матриці, квадратна матриця, головна діагональ та операції з матрицями.
Дана будь-яка матриця X така, що
Формула оберненої матриці матриці порядку 2
Тоді обернена матриця X буде
За допомогою цієї формули отримуємо обернену матрицю квадратної матриці порядку 2.
Вищевказану формулу можна також виразити визначником матриці.
Формула оберненої матриці матриці порядку 2
Дві паралельні прямі навколо X у знаменнику вказують на те, що він є визначником матриці X.
Коли квадратна матриця має зворотну матрицю, ми говоримо, що це звичайна матриця.
Вимоги
Щоб знайти обернену матрицю матриці порядку n, нам потрібно задовольнити наступні вимоги:
- Матриця повинна бути квадратною.
Кількість рядків (n) має бути такою ж, як кількість стовпців (m). Тобто порядок матриці повинен бути n, враховуючи, що n = m.
- Визначник повинен бути ненульовим (0).
Визначник матриці повинен бути ненульовим (0), оскільки він бере участь у формулі як знаменник. Якби знаменник був нулем (0), ми мали б невизначеність.
Якщо знаменник (ad - bc) = 0, тобто визначник матриці X дорівнює нулю (0), то матриця X не має зворотної матриці.
Власність
Квадратна матриця X порядку n матиме обернену матрицю X порядку n, X-1, такі, що це виконує
Порядок елементів множення не має значення, тобто множення будь-якої квадратної матриці на її зворотну матрицю завжди призведе до ідентичності матриці того самого порядку.
У цьому випадку порядок матриці X дорівнює 2. Отже, ми можемо переписати попереднє властивість як:
Практичний приклад
Знайдіть обернену матрицю матриці V.
Для вирішення цього прикладу ми можемо застосувати формулу або спочатку обчислити визначник, а потім підставити його.
Формула
Формула з визначником
Спочатку обчислюємо визначник матриці V, а потім підставляємо його у формулу.
Отже, ми отримуємо, що визначник матриці V відрізняється від нуля (0), і ми можемо сказати, що матриця V дійсно має обернену матрицю.
Ми отримуємо той самий результат, використовуючи формулу або спочатку обчислюючи визначник, а потім підставляючи його.
Порядок оберненої матриці такий же, як порядок вихідної матриці. У цьому випадку ми матимемо однакову кількість рядків n і стовпців m в обох матрицях V і V-1.
Транспонована матриця