Симетрична матриця - що це таке, визначення та поняття

Симетрична матриця - це матриця порядку n з однаковою кількістю рядків і стовпців, де її транспонована матриця дорівнює вихідній матриці.

Іншими словами, симетрична матриця є квадратною матрицею і ідентична матриці після того, як поміняли місцями рядки на стовпці, а стовпці на рядки.

Вимоги

Щоб будь-яка матриця була симетричною, вона повинна відповідати таким обмеженням:

Дано симетричну матрицю P порядку n,

• Будучи квадратна матриця.

Кількість рядків (n) має бути такою ж, як кількість стовпців (m). Тобто порядок матриці повинен бути n, враховуючи, що n = m.

• Вихідна матриця повинна дорівнювати її транспонована матриця.

Демонстрація:

Властивості

• Приєднана матриця симетричної матриці також є симетричною матрицею.

Демонстрація:

• Додавання або віднімання двох симетричних матриць призводить до отримання іншої симетричної матриці.

Демонстрація:

Дано дві симетричні матриці P Y Т порядку 3, отримуємо ще одну симетричну матрицю S від суми.

Чому її називають симетричною матрицею?

Властивість симетрії надають елементи навколо головної діагоналі. Оскільки квадратна матриця є симетричною матрицею, вона завжди матиме однакову кількість елементів над і під основною діагоналлю. Ці елементи однакові симетрично. Тобто головна діагональ діє як дзеркало.

Доказ симетрії та перекосу матриці

Симетрична матриця

Лист d представляє елементи головної діагоналі. Інші літери представляють будь-яке дійсне число. Ми бачимо, що основна діагональ діє як дзеркало: вона відображає елементи з обох сторін. Іншими словами, коли елементи по обидві сторони діагоналі симетрично рівні, ми говоримо, що матриця P є симетричною матрицею.

Несиметрична матриця

Матриця X Це не симетрична матриця, оскільки це не квадратна матриця, і її транспонована матриця відрізняється від вихідної матриці. Крім того, він також не має головної діагоналі.