Теорема Байєса використовується для обчислення ймовірності події, маючи заздалегідь інформацію про цю подію.
Ми можемо розрахувати ймовірність події A, також знаючи, що A виконує певну характеристику, що визначає її ймовірність. Теорема Байєса розуміє ймовірність обернено до теореми загальної ймовірності. Теорема про загальну ймовірність робить висновок про подію B з результатів подій A. Зі свого боку Байєс обчислює ймовірність A, що залежить від B.
Теорема Байєса широко поставлена під сумнів. Що було головним чином через його погане застосування. Оскільки, поки виконуються припущення про несуміжні та вичерпні події, теорема цілком справедлива.
Формула теореми Баєса
Щоб розрахувати ймовірність, визначену Байєсом у цьому випадку, нам потрібна формула. Формула математично визначається як:
Де B - подія, про яку ми маємо попередню інформацію, а A (n) - різні зумовлені події. У частині числівника маємо умовну ймовірність, а в нижній частині - загальну ймовірність. У будь-якому випадку, хоча формула здається дещо абстрактною, вона дуже проста. Щоб продемонструвати це, ми використаємо приклад, коли замість A (1), A (2) і A (3), ми будемо використовувати безпосередньо A, B і C.
Приклад теореми Байєса
У компанії є завод у США, який має три машини, A, B і C, які виробляють ємності для пляшок з водою. Відомо, що машина A виробляє 40% від загальної кількості, машина B 30%, а машина C 30%. Також відомо, що кожна машина виробляє дефектну упаковку. Таким чином, машина A виробляє 2% дефектних пакетів від загального виробництва, машина B 3%, а машина C 5%. При цьому виникають два запитання:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Якщо контейнер виготовлений заводом цієї компанії в США, яка ймовірність його несправності?
Розраховується загальна ймовірність. Оскільки за різними подіями ми обчислюємо ймовірність його дефекту.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Виражене у відсотках, ми сказали б, що ймовірність того, що контейнер, вироблений заводом цієї компанії в США, є дефектним становить 3,2%.
2. Продовжуючи попереднє запитання, якщо контейнер придбаний і він несправний, яка ймовірність того, що він був виготовлений машиною A? І машиною B? І машиною C?
Тут використана теорема Байєса. Ми маємо попередню інформацію, тобто знаємо, що упаковка дефектна. Звичайно, знаючи, що він несправний, ми хочемо знати, яка ймовірність того, що він був вироблений однією з машин.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Знаючи, що ємність несправна, ймовірність того, що вона була виготовлена машиною А, становить 25%, що вона виготовлена машиною В - 28%, а машина - С - 47%.