Модель Васичека - це однофакторна модель рівноваги процентних ставок, заснована на броунівському геометричному процесі, який враховує середню реверсію та часову структуру процентних ставок.
Іншими словами, модель Васичека використовується для прогнозування довгострокових процентних ставок шляхом моделювання короткострокових процентних ставок. Крім того, враховується, що процентні ставки різні в різні періоди часу (часова структура процентних ставок).
Моделі рівноважних процентних ставок використовують короткострокові процентні ставки для розрахунку майбутніх процентних ставок з урахуванням строкової структури процентних ставок.
Для побудови кривої дохідності нам потрібні короткострокові процентні ставки та параметри моделі. Отримавши короткострокові процентні ставки та параметри, ми можемо розрахувати довгострокові процентні ставки.
Отже, для розрахунку майбутніх цін на облігації з нульовим купоном нам потрібні короткострокові процентні ставки з нульовим купоном. Таким чином, ми також можемо побудувати криву або часову структуру нульових купонних процентних ставок. Отримавши криву, ми визначимо еволюцію довгострокових процентних ставок, враховуючи короткострокові процентні ставки.
Формула моделі Васичека: ціна облігації з нульовим купоном.
Аналітичне рішення для пошуку ціни облігації з нульовим купоном, яка сплачує € 1 при погашенні (T) у будь-який період часу (t) та за короткостроковою процентною ставкою (r (t)).
Без паніки!
Нам просто потрібно:
- Період часу, протягом якого ми хочемо знати процентні ставки, тобто Т.
- Момент часу, в який ми перебуваємо зараз, або початковий момент, який ми хочемо, тобто t.
- Крива короткострокового відсотка, тобто r (T) або rТ . Якби ми хотіли виразити процентні ставки в початковий період, ми б використовували r (T) або rТ.
- У цих формулах ми будемо розглядати параметри a, b і s як константи в часі.
- Стандартне відхилення, с.
Для розрахунку ціни облігації з нульовим купоном, яка сплачує € 1 до погашення (T) у будь-який проміжок часу (t), нам залишається лише надати значення параметрам a, b і s та змоделювати короткострокові процентні ставки (r (t)).
Представлення моделі Vasicek: ціна облігації з нульовим купоном
P (t, T) представляє ціну облігації від часу t до T.
Тож … Чи завжди будуть такі ціни на облігації?
Зовсім не, як ми вже говорили на початку, процентні ставки залежать від броунівського геометричного процесу, а отже, передбачає наявність випадкової складової N (0,1). Отже, кожного разу, коли ми обчислюємо наведені вище формули, короткострокові ставки змінюватимуться, а також довгострокові процентні ставки, ціни облігацій та їх представлення.
Для пошуку r (T) та R (T) ми будемо використовувати наступні формули.
Формула моделі Васичека: короткострокові процентні ставки
Формула короткострокової процентної ставки (rТ):
Формула довгострокової процентної ставки (RТ):
Представлення моделі Васичека: крива процентних ставок
