Моделі рівноваги процентних ставок - це моделі рівноваги, засновані на броунівському геометричному процесі та на нейтральності ризику короткострокових процентних ставок.
Іншими словами, рівноважні моделі процентних ставок використовують короткострокові процентні ставки для розрахунку майбутніх процентних ставок з урахуванням строкової структури процентних ставок.
Як посилання на короткострокові процентні ставки ми будемо використовувати процентні ставки нульові купонні облігації. Прикладом можуть бути короткострокові казначейські векселі.
Рекомендовані позиції: облігація з нульовим купоном, опціон та середня реверсія.
Часова структура нульових купонних цін на облігації отримана з броунівського геометричного процесу, який фіксує нескінченно незначні зміни короткострокових процентних ставок.
Ціни на нульові купонні облігації використовуються для оцінки ціни опціонів на нульові купони та опціонів на купонні облігації.
Отже, для розрахунку майбутніх цін на облігації з нульовим купоном нам потрібні короткострокові процентні ставки з нульовим купоном. Таким чином, ми також можемо побудувати криву або часову структуру нульових купонних процентних ставок. Отримавши криву, ми можемо визначити розвиток довгострокових процентних ставок, враховуючи короткострокові процентні ставки.
Структура строку або крива процентної ставки облігацій з нульовим купоном, розрахована за моделлю Васичека:
Припущення моделі рівноваги щодо процентних ставок
Припущеннями моделі є:
- Нейтральність ризику.
Ми вважаємо нейтральний ризик класичним припущенням для оцінки активів на фінансових ринках. Це припущення є ключовим для отримання ціни облігації за допомогою моделювання Монте-Карло.
- Логарифмічно нормальний розподіл облігацій та процентних ставок.
Ми вважаємо логарифмічно нормальний розподіл, оскільки ми ставимо процентні ставки як позитивну змінну, як ціни облігацій. Не було б сенсу оцінювати облігації з негативною ціною. Припускаючи логарифмічно нормальний розподіл процентних ставок, можна сказати, що процентні ставки будуть слідувати за броунівським геометричним процесом. Якби розподіл процентних ставок був нормальним розподілом, тоді ми сказали б, що процентні ставки відповідають броунівському арифметичному процесу.
Моделі рівноваги з одним фактором
Однофакторні моделі рівноваги - це моделі для розрахунку строкової структури процентних ставок із короткострокових процентних ставок.
Ми говоримо про один фактор, оскільки ризик або невизначеність дається одним фактором: мінливістю процентних ставок. Існують двофакторні моделі рівноваги, які надають більше можливостей для руху процентних ставок.
Математично визначимо однофакторну модель рівноваги виду:
Де,
- r (t): короткострокові процентні ставки в момент часу t.
- dr: зміна процентних ставок (r) з часом (dt).
- dt: протікання часу = еволюція часу.
- m (r) dt: напрямок або тенденція (m), враховані процентними ставками (r) з плином часу (dt).
- s (r): середнє відхилення процентних ставок (r).
- dZ: випадкова складова або збурення, яке слід за нормальним розподілом із середнім значенням 0 та дисперсією 1.
Вищезазначений вираз відомий як a стохастичне диференціальне рівняння виражене через процес Іто.
Типи моделей
Найпоширенішими однофакторними моделями рівноваги є:
- Модель Рендлмена та Барттера.
- Модель Васичек.
- Модель Кокса, Інгресолла та Росса.